Учебная работа № 2109. Аналитическая геометрия

Учебная работа № 2109. Аналитическая геометрия

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а₁ , а₂ , а₃ ,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейнонезависимой, если равенство a₁ а₁ +a₂ а₂ +…+a_л а_л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁ , a₂ ,…, a_л =0 и ÎR

Определение: система векторов (1) называется линейнозависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a_i ¹0 (i=1,…,k)

Свойства

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если система векторов содержит линейнозависимую подсистему векторов, то она будет линейнозависимой.

3. Если система векторов линейнонезависима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейнозависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейнозависима по 1 свойству). 1bga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейнозависимы. aа+bb=0, a¹0. а= b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекнозависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейнозависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейнозависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= a/g*а b/g*b. сдиагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейнонезависимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пре полож.; u=90, пре =0; u>90, пре отриц.

Свойства:

1. (а,b)= (b,а)

2. (aа,b)= a (а,b)

3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

4. (а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пре равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимноортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x₁ x₂ +y₁ y₂ +z₁ z₂ /sqrt(x₁ ² +y₁ ² +z₁ ² )*sqrt(x₂ ² +y₂ ² +z₂ ² )

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

1. [a,b]= [b,a]

2. [aа,b]= a[а,b]

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4. [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого находся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e_a =a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее уре пр. 2. Уре пр. в отрезках. 3. Каноническое уре пр. 4. Уре пр. ч/з две точки. 5. Уре пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное уре прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое уре пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной урем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М₀ в уре (1) и получим Ах₀ +By₀ +C=0 (1’). Вычтем (1)(1’) получим А(хх₀ )+B(yy₀ )=0, n(A,B), М₀ М(хх₀ , yy₀ ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M₀ M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть уря А₁ х+B₁ y+C₁ =0 и А₂ х+B₂ y+C₂ =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А₁ =t*А₂ и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в урии (1) =0, то уре называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

2. x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

3. xx₁ /e=yy₁ /m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M₁ М(хх₁ ; yy₁ )

4. xx₁ /x₂ x₁ =yy₁ /y₂ y₁

Пусть на прямой даны две точки М₁ (x₁ ;y₁ ) и М₂ (x₂ ;y₂ ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x₂ x₁ ; y₂ y₁ )

5. y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим xx₁ /e/e=yy₁ /m/e. yy₁ =k(xx₁ ) при y₁ kx₁ =b, y=kx+b

6. xcosq+ysinqP=0

q угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать уре прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим урем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinqP=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos² q=(A*t)²

Sin² q=(B*t)²

p=C*t

cos² q+sin² q=t² (A² +B² ), t² =1/A² +B² , t=±sqrt(1/ A² +B² ). Sign t= sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее уре умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, tнормирующий множитель.

7. Система: x=et+x₁ и y=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcosq+ysinqP=0

q угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать уре прямой , если изветны Р и q

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим урем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcosq+ysinqP=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos² q=(A*t)²

Sin² q=(B*t)²

p=C*t

cos² q+sin² q=t² (A² +B² ), t² =1/A² +B² , t=±sqrt(1/ A² +B² ). Sign t= sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее уре умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, tнормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinqP=0 и М₁ (x₁ ;y₁ ), тогда отклонение точки М₁ = x₁ cosq+y₁ sinqP=0

Задача: найти расстояние от точки М₀ (x₀ ;y₀ ) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x₀ cosq+y₀ sinqP|. d=|Ах₀ +By₀ +C|/sqrt(A² +B² )

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁ F₂ |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁ , r2 – расстояния от М до фокусов;
|r₂ r₁ |=2a; a<c;

,

x² c² 2a² xc+a² =a² (x² 2xc+c² +y² )

x² (c² a² )a² y² =a² (c² a² )

c² a² =b²

x² b² a² y² =a² b²

каноническое уре гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((xp/2)² +y² ); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y² =2px каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его “вытянутости”

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D₁ : x= a/e

D₂ : x= a/e

р=а(1е² )/е – для эллипса

р=а(е² 1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r₁ /d₁ =e

x£|a|, xe+a>0

r₁ =xe+a

d

Учебная работа № 2109. Аналитическая геометрия