Учебная работа № 1716. Практикум по предмету Математические методы и модели

Учебная работа № 1716. Практикум по предмету Математические методы и модели

Министерство образования Российской Федерации

ЮжноУральский государственный университет

Кафедра «Экономика и инвестиции»

_

_

Габрин К.Э.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Семестровое задание

и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000

УДК

ББК

Габрин К.Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. – 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101, 061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. – 13 назв.

Одобрено учебнометодической комиссией факультета «Экономика и управление».

Рецензент: Никифоров К.В.

Задача 1

Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ

Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x₁ , x₂ признаков приведены в табл. 1.

По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного признака от показателей производственнохозяйственной деятельности предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки	№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки
1	y1	x1 ,x3	14	y3	x1 ,x14
2	y2	x1 ,x5	15	y2	x5 ,x9
3	y2	x1 ,x7	16	y3	x8 ,x10
4	y2	x1 ,x11	17	y3	x7 ,x14
5	y2	x1 ,x10	18	y3	x3 ,x6
6	y1	x3 ,x4	19	y3	x1 ,x14
7	y2	x3 ,x11	20	y1	x2 ,x6
8	y2	x11 ,x5	21	y1	x3 ,x7
9	y1	x3 ,x5	22	y2	x5 ,x8
10	y2	x11 ,x6	23	y2	x9 ,x10
11	y2	x1 ,x6	24	y3	x4 ,x11
12	y2	x1 ,x12	25	y3	x1 ,x12
13	y2	x1 ,x2

Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственнохозяйственной деятельности предприятий

Обозначение показателя	Наименование показателя
y1	Производительность труда, тыс.руб./чел.
y2	Индекс снижения себестоимости продукции
y3	Рентабельность
x1	Трудоемкость единицы продукции
x2	Удельный вес рабочих в составе ППР
x3	Удельный вес покупных изделий
x4	Коэффициент сменности оборудования, смен
x5	Премии и вознаграждения на одного работника ППР, тыс.руб.
x6	Удельный вес потерь от брака,%
x7	Фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.
x8	Среднегодовая численность ППР, чел.
x9	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.
x10	Среднегодовой фонд заработной платы ППР
x11	Фондовооруженность труда, тыс.руб./чел.
x12	Оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн.
x13	Оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн.
x14	Непроизводительные расходы, тыс.руб.

Таблица 3

Исходные данные для расчета

№	y1	y2	y3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12	x13	x14
1	9,4	62	10,6	0,23	0,62	0,4	1,35	0,88	0,15	1,91	7394	39,53	14257	5,35	173,9	11,88	28,13
2	9,9	53,1	9,1	0,43	0,76	0,19	1,39	0,57	0,34	1,68	11586	40,41	22661	3,9	162,3	12,6	17,55
3	9,1	56,5	23,4	0,26	0,71	0,44	1,27	0,7	0,09	1,89	7801	37,02	14903	4,88	101,2	8,28	19,52
4	5,5	30,1	9,7	0,43	0,74	0,25	1,1	0,84	0,05	1,02	6371	41,08	12973	5,65	177,8	17,28	18,13
5	6,6	18,1	9,1	0,38	0,72	0,02	1,23	1,04	0,48	0,88	4210	42,39	6920	8,85	93,2	13,32	21,21
6	4,3	13,6	5,4	0,42	0,68	0,06	1,39	0,66	0,41	0,62	3557	37,39	5736	8,52	126,7	17,28	22,97
7	7,4	89,8	9,9	0,30	0,77	0,15	1,38	0,86	0,62	1,09	14148	101,7	26705	7,19	91,8	9,72	16,38
8	6,6	76,6	19,1	0,37	0,77	0,24	1,35	1,27	0,5	1,32	15118	81,32	28025	5,38	70,6	8,64	16,16
9	5,5	32,3	6,6	0,34	0,72	0,11	1,24	0,68	1,2	0,68	6462	59,92	11049	9,27	97,2	9,0	20,09
10	9,4	199	14,2	0,23	0,79	0,47	1,4	0,86	0,21	2,3	24628	107,3	45893	4,36	80,3	14,76	15,98
11	5,7	90,8	8	0,41	0,71	0,2	1,28	0,45	0,66	1,43	1948	80,83	36813	4,16	128,5	10,44	22,76
12	5,2	82,1	17,5	0,41	0,79	0,24	1,33	0,74	0,74	1,82	18963	59,42	33956	3,13	94,7	14,76	15,41
13	10,0	76,2	17,2	0,22	0,76	0,54	1,22	1,03	0,32	2,62	9185	36,96	17016	4,02	85,3	20,52	19,35
14	6,7	37,1	12,9	0,31	0,79	0,29	1,35	0,96	0,39	1,24	6391	37,21	11688	5,82	85,3	7,92	14,63
15	9,4	51,6	13,2	0,24	0,70	0,56	1,2	0,98	0,28	2,03	6555	32,87	12243	5,01	116,6	18,72	22,62

Методические указания к решению задачи 1

Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (n´k), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних X _ср , вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R :

X _ср =(x_{1 ср} , x_{2 ср} ,…, x_{j ср} ,…, x_{k ср} );

S =(s₁ , s₂ , …, s_j , …, s_k );

1	r12	…	r1k
R =	r21	1	…	r2k
…	…	…	…
rk1	rk2	…	1

где r_jl =[S (x_ij x_jср )(x_il x_lср )]/(ns_j s_l ), j,l=1,2,…,k;

s_j =([S (x_ij x_{j ср} )² ]/n)^0,5 , i=1…n;

x_il – значение iтого наблюдения jтого фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k2 между факторами X₁ и X₂ равен

r_12/3,4,…,k =R₁₂ /(R₁₁ R₂₂ )^0,5 ,

где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R .

Множественный коэффициент корреляции порядка k1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k = r₁ =(|R ₁₂ |/R₁₁ )^0,5 ,

где |R ₁₂ |– определитель матрицыR.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по tкритерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл =(nl2)^0,5 r/(1r² )^0,5 ,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀ : r=0 отвергается с вероятностью ошибки a), если |t_набл |>t_кр , определяемого по таблицам tраспределения (Приложение 1) для заданного a иn=nl2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по Fкритерию. Наблюдаемое значение, например, для r² _1/2,…k , находится по формуле

F_набл = [r² _1/2,…k /(k1)]/[(1r² _1/2,…k )/(nk)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл >F_кр (a, k1, nk), где F_кр определяется по таблице Fраспределения (Приложение 1) для заданных a, n₁ =k1 и n₂ =nk.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных x_j , рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j . Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=j(x₁ ,x₂ ,…,x_k ), являющимся функцией от аргументов x_j , и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией s² . Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ +…+b_j x_j +…+b_k x_k , линейные относительно неизвестных параметров b_j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j .

Коэффициент регрессии b_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y =X b +e ,

где Y – случайный векторстолбец размерности [n´1] наблюдаемых значений результативного признака (y₁ ,y₂ ,…,y_n ); X – матрица размерности [n´ (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi =1);b – векторстолбец размерности [(k+1)´1] неизвестных коэффициентов регрессии модели; e – случайный векторстолбец размерности [n´1] ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ +…+b_j x_j +…+b_k x_k .

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов регрессии определяется по формуле

b=(X^T X)¹ X^T Y ,

где

1	x11	…	x1k	y1	b0
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
X=	1	xi1	…	xik	Y=	yi	b =	bj
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
1	xn1	…	xnk	yn	bk

X^T – транспонированная матрица X ;(X^T X)^–1 – матрица, обратная к матрице X^T X .

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения

S* (b)=S*² (X^T X )^{– 1} ,

где S*² =(Y Xb )^T (Y Xb )/(nk1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*² _{b (j–1)} = S*² [(X^T X )^{– 1} ]_jj для j=1,2,…,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H₀ : b=0 (b₀ =b₁ =…=b_k =0), проверяется по Fкритерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

F_набл =(Q_R /(k+1))/(Q_ост /(nk1)),

где Q_R =(Xb )^T (Xb ), Q_ост =(Y Xb )^T (Y Xb ).

По таблице Fраспределения (Приложение 1) для заданных a, n₁ =k+1, n₂ =nk1 находят F_кр .

Гипотеза H₀ отклоняется с вероятностью a, если F_набл >F_кр . Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀ : b_j =0, где j=1,2,…,k, используют tкритерий и вычисляют t_набл (b_j )=b_j /S*_{b j} .По таблице tраспределения (Приложение 1) для заданных a, n=nk1 находят t_кр .

Гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки a, если êt_набл ê>t_кр . Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии b_j значим, т.е. b_j ¹ 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение t_набл . После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Для решения задачи требуется:

1. Найти оценку уравнения регрессии вида y=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ .

2. Проверить значимость уравнения регрессии при a=0,05 или a=0,01.

3. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить адекватность полученной модели по величине абсолютных e_i и относительных d_i отклонений.

5. При необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, отбросив один из незначительных коэффициентов регрессии.

6. Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

7. Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

8. Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

9. Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.

Пример решения задачи 1

По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема валовой продукции x₁ (млн. р.) и производительности труда x₂ (тыс. р. на чел.).

Таблица 4

Исходная информация для анализа и результаты расчета

Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i )2	ei =yi y*i	(ei )2	di = ei / y*i
1	3	1,8	2,1	2,31572	5,36255	0,21572	0,04653	0,09315
2	4	1,5	2,8	3,48755	12,16300	0,68755	0,47273	0,19714
3	5	1,4	3,2	4,35777	18,99015	1,15777	1,34043	0,26568
4	5	1,3	4,5	4,50907	20,33171	0,00907	0,00008	0,00201
5	5	1,3	4,8	4,50907	20,33171	0,29093	0,08464	0,064521
6	5	1,5	4,9	4,20647	17,69439	0,69353	0,48098	0,164872
7	6	1,6	5,5	4,77408	22,79184	0,72592	0,52696	0,152054

Окончание табл. 4

Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i )2	ei =yi y*i	(ei )2	di = ei / y*i
8	7	1,2	6,5	6,09821	37,18816	0,40179	0,16144	0,065887
9	15	1,3	12,1	11,6982	136,84905	0,40175	0,16140	0,034343
10	20	1,2	15,0	15,4441	238,52177	0,44415	0,19727	0,02876
Сред. знач.			S =	530,22437	S =	3,47247
7,5	1,41	6,14
y*i – значения, вычисленные по уравнению регрессии
ei – абсолютные ошибки аппроксимации
di – относительные ошибки аппроксимации

Решение

1. Определение вектора b оценок коэффициентов

уравнения регрессии

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b₀ +b₁ x₁ +b₂ x₂ производится по уравнению b=(X^T X)^–1 X^T Y :

n	S xi1	S xi2	10	75	14,1
XT X =	S xi1	S x2 i1	S xi1 xi2	=	75	835	100,4
S xi2	S xi1 xi2	S x2 i2	14,1	100,4	20,21

S yi	61,4	b0	2,88142
XT Y =	S xi1 yi	=	664,5	b =	b1	=	0,71892
S xi2 yi	82,23	b2	1,51303

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид

y*=2,88142+0,71892x₁ 1,51303x₂ .

2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x₁ 1,51303x₂ .

а) Q_R =(Xb )^T (Xb )=S y*_i =530,224365;

б) Q_ост =(Y Xb )^T (Y Xb )=S e² _i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*² = Q_ост /(n3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀ : b=0 (b₀ =b₁ =b₂ =0). Для этого вычисляем

F_набл =(Q_R /(k+1))/(Q_ост /(nk1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 / 7))=356,32776.

Далее по таблице Fраспределения для a=0,05, n₁ =k+1=3, n₂ =nk1=7 находим F_кр =4,35. Так как F_набл >F_кр (356,32776>4,35), то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.

3. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии

а) Найдем оценку ковариационной матрицы вектора b :

5,52259	0,08136	3,44878
S* (b)=S*2 (XT X )– 1 =0,496066(XT X )– 1 =	0,08136	0,00267	0,04348
3,44878	0,04348	2,21466

Так как на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, то получим следующие несмещенные оценки этих дисперсий:

S*² _{b 0} =5,52259; S*² _{b 1} =0,00267; S*² _{b 0} =2,21466;

S*_{b 0} =2,35002; S*_{b 1} =0,05171; S*_{b 2} =1,48818.

Найдем оценку корреляционной матрицы вектора b . Элементы этой матрицы определяются по формуле:

r_j1l1 =cov*(b_j1 ,b_l1 )/(S*_{b j1} S*_{b l1} ),

где cov*(b_j1 ,b_l1 ) – элементы матрицы S* (b), стоящие на пересечении jтой строки и l того столбца ( j,l =1,2,3).

Корреляционная матрица вектора b имеет вид:

1	0,66955	0,98614
R* (b)=	0,66955	1	0,56504
0,98614	0,56504	1

Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀ : b_m =0 (m=1,2), по таблицам tраспределения для a=0,05, n=7 находим t_кр =2,365. Вычисляем t_набл для каждого из коэффициентов регрессии по формуле t_набл (b_j )=b_j /S*_{b j} :

t_набл (b₁ )=b₁ /S*_{b 1} =0,71892/0,05171=13,903

t_набл (b₂ )=b₂ /S*_{b 2} =1,51303/1,48818=1,01667.

Так как t_набл (b₁ ) > t_кр (13,903 > 2,365), t_набл (b₂ ) < t_кр (1,01667< 2,365), то коэффициент регрессии b₁ ¹0, а коэффициент регрессии b₂ =0. Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.

4. Пошаговый регрессионный анализ

Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’₀ +b’₁ x₁ . Вектор оценок b’ определим по формуле b=(X^T ¢ X ¢ )^–1 X^T ¢ Y , где

n	S xi1	10	75
XT ¢X¢=	S xi1	S x2 i1	=	75	835

S yi	61,4	b’0	0,52534
XT ¢Y¢=	S xi yi	=	664,5	b¢=	b’1	=	0,74861

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x₁ .

Повторив далее вычисления по пп 2 и 3, определяем, что новая оценка уравнения регрессии и его коэффициент значимы при a=0,05.

5. Нахождение матрицы парных коэффициентов корреляции

(на примере без исключения переменной)

а) находим вектор средних:

X _ср =(x_{1 ср} ; x_{2 ср} ; y_ср )=(7,5; 1,41; 6,14);

б) находим вектор среднеквадратических отклонений S =(s₁ ; s₂ ; s_y ) по формуле s_j =([S (x_ij x_{j ср} )² ]/n)^0,5 , i=1…n:

S =(5,22; 0,18; 3,91);

в) формируем корреляционную матрицу

1	r12	r1y
R =	r21	1	r2y
ry1	ry2	1

где r₁₂ =r₂₁ =[(x₁ x₂ )_ср x_1ср x_2ср ]/(s₁ s₂ ), r_yj =r_jy =[(x_j y)_ср x_jср y_ср ]/(s_j s_y ):

1	0,565	0,997
R =	0,565	1	0,612
0,997	0,612	1

6. Расчет оценок частных коэффициентов корреляции

Оценки частных коэффициентов корреляции определяются по формулам:

r_12/y =(r₁₂ r_1y r_2y )/[(1r_1y ² )(1r_2y ² )]^0,5 =0,738;

r_1y/2 =(r_1y r₁₂ r_y2 )/[(1r₁₂ ² )(1r_y2 ² )]^0,5 =0,998;

r_2y/1 =(r_1y r₁₂ r_y2 )/[(1r₁₂ ² )(1r_y2 ² )]^0,5 =0,762.

Составим матрицу частных коэффициентов корреляции:

1	0,738	0,998
0,738	1	–0,762
0,998	–0,762	1

Следует иметь в виду, что частный коэффициент корреляции может резко отличаться от соответствующего парного коэффициента и даже иметь противоположный знак. Любой из частных коэффициентов может быть равен нулю, в то время, как парный – отличен от нуля.

В данном примере r_12/y =0,738, а r₁₂ =0,565. Такое различие вызвано тесной связью объема валовой продукции (x₁ ) и себестоимостью товарной продукции (y): r_1y =0,997. В случае независимости величин частный и парный коэффициенты корреляции равны нулю.

7. Проверка значимости парных и частных

коэффициентов корреляции

Проверка осуществляется с помощью таблиц tраспределения Стьюдента.

Для r₁₂ : |t_набл |=|(102)^0,5 (0,565)/(1(0,565)² )^0,5 |=1,93683<t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r₁₂ =0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|t_набл |=1,93683>t_{кр (8;0,1)} =1,86).

Для r_2y : |t_набл |=|(102)^0,5 (0,612)/(1(0,612)² )^0,5 |=2,20621<t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r_2y =0 принимается с вероятностью ошибки 0,05; отвергается с вероятностью ошибки 0,1 (|t_набл |=1,93683 > t_{кр (8;0,1)} =1,86).

Для r_1y : |t_набл |=|(102)^0,5 0,997/(10,997² )^0,5 |=36,43263>t_{кр (8;0,05)} =2,306; гипотеза H₀ : r_1y =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_12/y : |t_набл |=|(n3)^0,5 0,738/(10,738² )^0,5 |=2,893542>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_12/y =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_1y/2 : |t_набл |=|(n3)^0,5 0,998/(10,998² )^0,5 |=41,77023>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_1y/2 =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

Для r_2y/1 : |t_набл |=|(n3)^0,5 (0,762)/(1(0,762)² )^0,5 |=3,11324>t_{кр (7;0,05)} =2,365; гипотеза H₀ : r_2y/1 =0 отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

8. Расчет оценок множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Оценки множественных коэффициентов корреляции детерминации рассчитываются по формулам:

r_y/12 = (r_y1 ² + r_y2 ² + 2r_y1 r_y2 r₁₂ )/(1r₁₂ ² )(1r_y2 ² )]^0,5 =0,999;

r_y/12 ² =0,999² =0,997.

9. Проверка значимости множественных коэффициентов

корреляции и детерминации

Проверим гипотезу H₀ : r² _y/12 =0 по Fкритерию. Наблюдаемое значение находится по формуле:

F_набл = [r² _y/12 /(k1)]/[(1r_y/12 )/(nk)]=[0,997/(31)]/[(10,997)/(103)]=1163.

По таблице Fраспределения для a=0,05, n₁ =k1=2, n₂ =nk=7 находим F_кр =4,74. Так как F_набл >F_кр , то гипотеза о равенстве r² _y/12 =0 отвергается.

Аналогично осуществляется проверка гипотезы r_y/12 =0 (в данном примере опущено).

Тем самым доказана значимость множественного коэффициента корреляции, что говорит о наличии зависимости y от x₁ и x₂ , т.е. себестоимость действительно зависит от объема валовой продукции и производительности труда.

Литература к задаче 1

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей.–М.:Финансы и статистика, 1985

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных.–М.:Финансы и статистика, 1983

3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.–М.:Высш.шк., 1988.

4. Шепелев И.Г. Математические методы и модели управления в строительстве.–М.:Высшая школа, 1980.

Задача 2

Динамическое программирование

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой тремя предприятиями, выделены капитальные вложения в объеме 700 млн.руб. Использование iтым предприятием x_i млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции f_i (x_i ).

Найти распределение капитальных вложений между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпус6ка продукции.

Исходные данные приведены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5

Исходные данные

Объем кап.вложений xi , млн.руб.	Прирост выпуска продукции fi (xi ), млн.руб.
Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
0	0	0	0
100	а	50	40
200	50	80	d
300	b	90	110
400	110	150	120
500	170	с	180
600	180	210	220
700	210	220	240

Таблица 6

Варианты исходных данных

Вариант	a	b	c	d
1	30	90	190	50
2	20	80	160	70
3	35	100	190	60
4	40	110	180	90
5	30	100	190	60

Окончание табл. 6

Вариант	a	b	c	d
6	35	80	160	70
7	40	80	160	70
8	40	100	190	60
9	30	110	160	90
10	40	110	190	90
11	20	100	190	60
12	20	80	180	60
13	35	110	190	50
14	40	90	160	50
15	30	90	190	90
16	35	90	160	70
17	40	90	190	50
18	20	90	150	90
19	20	80	190	60
20	20	110	160	70
21	40	90	190	60
22	30	110	190	55
23	35	90	180	70
24	45	85	170	90
25	40	85	170	50

В задаче необходимо:

1. Составить рекуррентное соотношение Беллмана в виде функциональных уравнений.

2. Используя рекуррентные соотношения и исходные данные определить сначала условно оптимальные, а затем оптимальные распределения капиталовложений между предприятиями.

Методические указания к решению задачи 2

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выйгрыш на данном шаге плюс оптимальный выйгрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Общая последовательность решения задач динамического программирования следующая.

1. Выбрать способ описания процесса, т.е. параметры, характеризующие состояние системы, фазовое пространство и способ членения операции на шаги.

2. Записать выигрыш w_i на iтом шаге в зависимости от состояния системы S вначале этого шага и управления U_i :

w_i = w_i (S, U_i )

3. Записать для iтого шага функцию выражающую изменение состояния системы от S к S’под влиянием управления U_i :

S’=j(S, U_i ).

4. Записать основное функциональное уравнение, выражающее функцию W_i (S) через W_i+1 (S):

W_i (S)=max_{U i} {w_i (S, U_i )+W_i+1 (j_i (S, U_i ))}

5. Найти функцию W_m (S)=max_{U m} {w_m (S, U_m )} – условный оптимальный выйгрыш для последнего шага (максимум берется только по тем направлениям, которые приводят систему в заданную область конечных состояний S*_w ) и соответствующее ей условное оптимальное управление на последнем шаге U_m (S).

6. Зная W_m (S) и пользуясь уравнением из п.4, при конкретном виде функций w_i (S, U_i ), j_i (S, U_i ), найти одну за другой функции:

W_m1 (S), W_m2 (S), … , W₁ (S)

и соответствующие им условные оптимальные управления:

U_m1 (S), U_m2 (S), … , U₁ (S).

7. Если начальное состояние системы S₀ задано, то найти оптимаьный выйгрыш W_max (S₀ ), и далее безусловные оптимальные управления (и, при необходимости, конечное состояние системы) по цепочке:

S₀ ®U₁ (S₀ )®S*₁ ® U₂ (S*₁ )®S*₂ ® U₃ (S*₂ )®…®S*_m1 ® U_m (S*_m1 )®S*_m .

8. Если начальное состояние S₀ не задано, а ограничено условием S₀ ÎS₀ , тонайти оптимальное начальное состояние, при котором выйгрыш достигнет максимума и далее по цепочке, безусловные оптимальные управления.

В данной задаче вместо того, чтобы рассматривать допустимые варианты распределения капиталовложений между n предприятиями и оценивать их эффективность, необходимо исследовать эффективность вложения средств на одном предприятии, на двух предприятиях и т.д., наконец, на n предприятиях. Таким образом получим n этапов, на каждом из которых состояние системы (3 предприятия) описывается объемом средств, подлежащих освоению k предприятиями (k=1¸n). Управлениями будут являться решения об объемах капиталовложений, выделяемых kтому предприятию.

Литература к задаче 2

1. Вентцель

Учебная работа № 1716. Практикум по предмету Математические методы и модели