Учебная работа № 1492. Принятие решений в условиях неопределенности

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1492. Принятие решений в условиях неопределенности

Часть I. Принятие решений в условиях неопределенности.

Вариант 15.

15. ( 0 , 1/2 ) ( 6 , 1/4 ) ( 5 , 1/5 ) ( 2 , 1/20 )

16. ( 6 , 1/2 ) ( 2 , 1/4 ) ( 8 , 1/5 ) ( 22 , 1/20 )

17. ( 9 , 1/2 ) ( 4 , 1/4 ) ( 3 , 1/8 ) ( 32 , 1/8 )

18. ( 6 , 1/2 ) ( 4 , 1/4 ) ( 12 , 1/8 ) ( 10 , 1/8 )

В этих строках опускаем дроби:

( 0 6 5 2 )

( 6 2 8 22)

( 9 4 3 32)

( 6 4 12 10)

Полученные строки объединяем в матрицу:

0 6 5 2

6 2 8 22

9 4 3 32

6 4 12 10

рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 )

Руководитель, менеджер, обязан разрешать проблемы, встающие перед ним, перед коллективом, которым он руководит. Он обязан принимать решения. В теории принятия решений есть специальный термин: ЛПР — Лицо, Принимающее Решения. Ниже по тексту будем использовать этот термин.

Принять решение — это решить некоторую экстремальную задачу, т.е. найти экстремум некоторой функции, которую называют целевой , при некоторых ограничениях. Например, линейное программирование представляет целый класс таких экстремальных задач. Методы теории вероятностей и математической статистики помогают принимать решения в условиях неопределенности.

Не все случайное можно “измерить” вероятностью. Неопределенность — более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений i= 1,…, m . Ситуация не определена, понятно лишь, что наличествует какойто из вариантов ј = 1,…,n . Если будет принято iе решение, а ситуация есть jя, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход qij . Матрица Q = (qij ) называется матрицей последствий (возможных решений ). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет iе решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Иначе говоря, если ситуация есть jя, то было бы принято решение, дающее доход qj = max qij .Значит,

i

принимая iе решение,мы рискуем получить не qj , а только qij , значит, принятие iго решения несет риск недобрать rij = qj qij . Матрица R = (rij ) называется матрицей рисков .

Пусть матрица последствий есть Q.

max

0 6 5 2 5

Q = 6 2 8 22 22

9 4 3 32 32

6 4 12 10 10

Составим матрицу рисков R. Имеем q1 = 5, q2 = 22, q3 = 32, q4 = 10. Следовательно, матрица рисков есть R.

9 0 3 30

R = 3 4 0 10

0 2 5 0

15 10 20 22

Здесь мы впервые встретились с количественной оценкой риска. Несомненно, что риск — одна из важнейших категорий предпринимательской деятельности, неотъемлемая черта этой деятельности. Как известно, предприниматели живут в среднем лучше, чем остальная часть человечества. Это — награда им за риск в один несчастный день оказаться разоренным. Риск — понятие многогранное и мы еще не раз встретимся с ним.

Принятие решений в условиях полной неопределенности.

При принятии решений в условиях полной неопределенности некоторыми ориентирами могут служить следующие правиларекомендации.

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая iе решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доходai = min qij . Но теперь уже выберем решениеснаибольшим ai0 . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое, что ai0 = max = max (min qij ).

min

0 6 5 2 0

Q = 6 2 8 22 2

9 4 3 32 3

6 4 12 10 12

Так, в вышеуказанном примере имеем a1 = 0, a2 =2, a3 = 3, a4 = 12. Теперь из чисел 0, 2, 3, 12 находим максимальное. Это — 3. Значит, правила Вальда рекомендует принять 3е решение. Данному правилу следует человек, боящийся риска.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). Данному правилу следует человек, боящийся риска. При применении этого правила анализируется матрица рисков R = (rij ). Рассматривая iе решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска bi = max rij . Но

j

теперь уже выберем решение i0 с наименьшим bi0 .Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i0 такое, что bi0 = min bi = min (max rij ).

i j

max

9 0 3 30 30

R = 3 4 0 10 10

0 2 5 0 5

15 10 20 22 22

Так, в вышеуказанном примере имеем b1 = 30, b2 =10, b3 = 5, b4 = 22. Теперь из чисел 30, 10, 5, 22 находим минимальное. Это — 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять 3е решение.

Правило “розового оптимизма” . ЛПР считает, что для него сложится самая благоприятная ситуация, т.е. он получит самый большой доход в результате своей деятельности

ci = max qij . Теперь выберем решение i0 с наибольшим ci0 . Итак,

j

правило “розового оптимизма рекомендует принять решение i0 такое, чтоci0 = max (max qij ).

max

0 6 5 2 6

Q = 6 2 8 22 22

9 4 3 32 32

6 4 12 10 10

Так, в вышеуказанном примере имеем с1 = 6, с2 = 22, с3 = 32, с4 = 10. Теперь из чисел 6, 22, 32, 10 берем максимальное. Это — 32. Значит, правило “розового оптимизма” рекомендует 3е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум min qij + (1 max qij где 0 Значение выбирается из субъективных соображений. Если  приближается к единице, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближениик нулю правило Гурвица приближается к правилу “розового оптимизма”.

Возьмем  = 1/2.

max min

0 6 5 2 6 0

Q = 6 2 8 22 22 2

9 4 3 32 32 3

6 4 12 10 10 12

i1 = ½ * 6 + ( 1 ½ ) * 0 = 3

i2 = ½ * 22 + ( 1 ½ ) * 2 = 12

i3 = ½ * 32 + ( 1 ½ ) * 3 = 17.5

i4 = ½ * 10 + ( 1 ½ ) * ( 12 ) = 1

Итак, мы имеем i1 = 3, i2 =12, i3 = 17.5, i4 = 1. Теперь из чисел 3, 12, 17.5, 1 берем максимальное. Это — 17.5. Значит, правило Гурвица рекомендует 3е решение.

Принятие решений в условиях частичной неопределенности.

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности pj того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью . Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода . Доход, получаемый фирмой при реализации iго решения,

является случайной величиной Qi с рядом распределения

qi1 . . . qin
p1 pn

Математическое ожидание MQi и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Qi . Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

В приведенном примере вероятности такие (1/2, 1/4, 1/5, 1/20).

0 6 5 2

Q = 6 2 8 22

9 4 3 32

6 4 12 10

рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 )

0 6 5 2

Q1 :

1/2 1/4 1/5 1/20

6 2 8 22

Q2 :

1/2 1/4 1/5 1/20

9 4 3 32

Q3 :

1/2 1/4 1/5 1/20

6 4 12 10

Q4 :

1/2 1/4 1/5 1/20

Q1 = 6/4 + 5/5 + 2/20 = 1,5 + 1 +0,1 = 2,6

Q2 = 6/2 + 2/4 + 8/5 + 22/20 = (30+5+16+11)/10 = 62/10 = 6,2

Q3 = 9/2 + 4/4 + 3/5 + 32/20 = (45+10+6+16)/10 = 77/10 = 7,7

Q4 = 6/2 4/4 12/5 + 10/20 = (301024+5)/10 = 59/10 = 5,9

Максимальный средний ожидаемый доход равен 7.7, что соответствует 3му решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска . Риск фирмы при реализации iго решения является случайной величиной Ri с рядом распределения

ri1 . . . rin
p1 pn

Математическое ожидание M[Ri ] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также Ri . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.Вычислим средние ожидаемые риски.

9 0 3 30

R = 3 4 0 10

0 2 5 0

15 10 20 22

рj = ( 1/2 1/4 1/5 1/20 )

9 0 3 30

R1 :

1/2 1/4 1/5 1/20

3 4 0 10

R2 :

1/2 1/4 1/5 1/20

0 2 5 0

R3 :

1/2 1/4 1/5 1/20

15 10 20 22

R4 :

1/2 1/4 1/5 1/20

R1 = 9/2 + 3/5 + 30/20 = (45+6+15)/10 = 66/10 = 6.6

R2 = 3/2 + 4/4 +10/20 = 1.5 + 1 +0.5 = 3

R3 = 2/4 + 5/5 = 15/10 = 1.5

R4 = 15/2 + 10/4 + 20/5 + 22/20 = (150+50+80+22)/20 = 302/20 = 15.1

Минимальный средний ожидаемый риск равен 1.5, что соответствует 3му решению.

Иногда в условиях полной неопределенности применяется следующее правило.

Правило Лапласа равновозможности , когда все вероятности p считаются равными. После этого можно выбрать какоенибудь из двух приведенных выше правилрекомендаций принятия решений.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

Q =

0 6 5 2

6 2 8 22

9 4 3 32

6 4 12 10

рj = ( 1/4 1/4 1/4 1/4 )

Учебная работа № 1492. Принятие решений в условиях неопределенности