Учебная работа № 1780. Теорема Штольца

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1780. Теорема Штольца

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) ;

b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

c) ;

d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N . Если при этом взять N >N, то для n>N , очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn , причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта an имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn ).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn =a1 +a2 +…+an, yn =n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая kнатуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

xn =1k +2k +…+nk , yn =nk+1 ,

будем иметь

.

Но

(n1)k+1 =nk+1 (k+1)nk +… ,

так что

nk+1 (n1)k+1 =(k+1)nk +…

и

.

5. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk , g(xk +1)>g(xk ), т.е. функция возрастающая.

Тогда,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn ) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. очевидна неопределенность

===2

2. неопределенность

====0

3. неопределенность

===

Литература:

1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.

Учебная работа № 1780. Теорема Штольца