Учебная работа № 1938. Решение задач с помощью ортогонального проектирования

Учебная работа № 1938. Решение задач с помощью ортогонального проектирования

Тема: «Решение задач с помощью ортогонального проектирования».

Ученицы 11 «Б» класса

Средней школы №46

Заиц Ю. А.

Руководитель: Шелгинских В. А.

Калуга, 2001 г.

Содержание.

. 3

Глава I.Основные понятия ортогональной проекции. Комплексные чертежи. 4

1.1. Метод параллельного проецирования. 4

1.2. Ортогональная проекция. 4

1.3. Комплексный чертеж точки. 5

1.4. Комплексный чертеж прямой. 6

1.5. Комплексный чертеж плоскости. 7

1.6. Взаимопринадлежность точки и плоскости. 8

Глава II.Изображение фигур. 9

2.1. Проекция окружности. 9

2.2. Проекция треугольника, параллелограмма и трапеции. 9

2.4. Проекции правильного шестиугольника. 10

2.5. Проекции тетраэдра и параллепипеда. 10

Глава III.Задачи на метрические построения. 11

3.1. Выносные чертежи. 11

3.2. Построения на изображениях плоских фигур. 13

3.3. Построения на изображениях пространственных фигур. 16

Глава IV.Вычисление расстояний и углов. 24

4.1. Расстояние от точки до прямой. 24

4.2. Расстояние от точки до плоскости. 25

4.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми. 26

4.4. Угол между скрещивающимися прямыми. 28

4.5. Угол между прямой и плоскостью. 29

4.6. Угол между плоскостями. 30

4.7. Двугранный и многогранный углы. 32

Заключение. 35

Список литературы. 36

.

Выбранная для реферата тема «Решение задач с помощью ортогонального проектирования» актуальна для многих выпускников и поступающих в высшие учебные заведения.

Несмотря на то, что в методических рекомендациях по решению экзаменационных задач по геометрии говорится, что для них не требуется сложных рассуждений, преобразований и остроумия, но часто приобретенных навыков в школе не хватает для решения задач на построение и вычислительных задач. Многие из них на сегодняшний день полностью отсутствуют или редко встречаются в учебниках. Это относится в первую очередь к заданиям на применение ортогонального проецирования.

Рассмотренный в данном реферате материал позволяет получить более глубокие знания по стереометрии, широкое понимание поставленного вопроса. Особое внимание уделено полноте рассуждения, в котором применялись базовые знания начертательной геометрии. При решении задач активно использовался аппарат ортогонального проектирования. Это осуществляется применением вычислительного способа и способа выносных чертежей. В реферате также присутствует и координатный способ решения. Акцентируется внимание на решении задач по построению прямой, изображений фигур, вычислению расстояний и углов.

1.1. Метод параллельного проецирования.

Дана плоскость α и прямая l , задающая направление проецирования. Зададим фигуру, которую надо спроектировать (отрезок AB). Через точки А и В проведем прямые, параллельные l и пересекающие плоскость α в точках A’, B’. Отрезок A’ B’ – проекция АВ на плоскость α (рис.1). Обозначается A’ B’ =пр _α AB.

Свойства параллельной проекции.

1) Проекцией точки является точка.

2) Проекцией прямой является прямая – свойство прямолинейности.

3) Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности.

4) Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые – свойство сохранения параллельности.

5) Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков.

6) Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

1.2. Ортогональная проекция.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П’.

В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя AB*║A’ B’ (рис.2), получим из прямоугольного треугольника AB*B, что AB*=ABcos α или A’ B’= ABcos α.

Так как ортогональное проецирование – разновидность параллельного, то ему присущи те же свойства.

1.3. Комплексный чертеж точки.

Наибольшее применение получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекции П₁ располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂ , которая располагается вертикально, называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 3).

Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Спроектируем ортогонально на плоскости проекций П₁ и П₂ какуюнибудь точку А, тогда получим две ее проекции: горизонтальную проекцию А₁ на плоскости П₁ и фронтальную проекцию А₂ на плоскости П₂ .

Проектирующие прямые АА₁ и АА₂ , при проекции которых точка А проектируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А₁ АА₂ , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х . Прямые А_х А₁ и А_х А₂ , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П₁ и П₂ , будут перпендикулярны к оси проекций х .

Расстояние А₁ А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А₂ А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П₁ с плоскостью П₂ , вращая плоскость П₁ вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 3, а. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 3, б), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х . Прямая А₁ А₂ , соединяющая две проекции точки, называется линией связи.

1.4. Комплексный чертеж прямой.

Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном чертеже всякая прямая l может быть задана проекциями А₁ , А₂ и В₁ , В₂ двух ее точек А и В (рис. 4, а, б). А так как ортогональная проекция обладает свойствами прямолинейности и принадлежности, то прямая l на комплексном чертеже задается и ее проекциями l ₁ , l₂ ; они будут прямыми, проходящими через точки А₁ , В₁ , А₂ , В_2.

Для деления данного отрезка АВ в данном отношении достаточно разделить в этом отношении одну из проекций данного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию отрезка. На рис. 5 отрезок АВ разделен точкой М в отношении 2:3, первоначально в этом отношении была разделена проекция А₁ В₁ данного отрезка.

Определение натуральной величины отрезка прямой и его углов наклона к плоскостям проекций можно выполнить с помощью способа прямоугольного треугольника. Пусть дан отрезок АВ общего положения (рис. 6, а). Зафиксируем плоскость проекций П₁ так, чтобы она прошла через один из концов отрезка, например через точку А, и из точки В восстановим перпендикуляр ВВ₁ . Тогда получим прямоугольный треугольник АВ₁ В, в котором гипотенузой является данный отрезок АВ, одним катетом является горизонтальная проекция А₁ В₁ отрезка АВ, а вторым катетом – высота h точки В. Угол, образованный отрезком АВ и его проекцией А₁ В₁ , является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁ .

На рис. 6, б выполнено построение натуральной величины отрезка АВ, заданного своими проекциями А₁ В₁ и А₂ В₂ , при этом возможны два варианта решения. В одном случае построен прямоугольный треугольник А₁ В₁ В¹ на горизонтальной проекции данного отрезка, а в другом прямоугольный треугольник А₁ В₁ В² на фронтальной проекции отрезка. Гипотенузы этих треугольников А₁ В¹ и А₂ В² определяют натуральную величину отрезка АВ, а углы α и β определяют углы наклона этого отрезка к плоскостям проекций П₁ и П_{2 .} Иногда удобнее строить прямоугольный треугольник не на проекции отрезка, а на высоте h или на глубинеf одного из концов отрезка относительно другого. На рис. 6, в показаны оба варианта этих построений. Отрезки А¹ В₂ и А² В₁ определяют натуральную величину отрезка АВ.

1.5. Комплексный чертеж плоскости.

Плоскость определяют три ее точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость Q может быть задана проекциями А₁ , В₁ , С₁ и А₂ , В₂ , С₂ трех ее точек А, В, С (рис. 7 а, б). Для большей наглядности соединим точки А, В и С прямыми. Получим задание плоскости треугольником АВС. При этом следует помнить, что плоскость безгранична и поэтому некоторые построения могут выходить за пределы треугольника.

1.6. Взаимопринадлежность точки и плоскости.

Покажем, как задать какуюнибудь точку плоскости. Пусть плоскость Q задана тремя точками А, В и С (рис. 8). Соединим их прямыми, тогда плоскость Q будет задана треугольником АВС. Проще всего искомую точку М¹ задать на какойнибудь стороне, например ВС. Проведем в плоскости Q произвольную прямую l . Выделим на плоскости Q две произвольные точки, например, А и М¹ , и определим этими точками прямую l ( l₁ , l₂ ) , принадлежащую плоскости Q.

Так как проекция плоскости Q покрывает все поле проекций, то одну из проекций точки, принадлежащей плоскости, можно задать произвольно, тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем произвольно проекцию М₁ ³ . Далее проведем в плоскости Q какуюнибудь прямую m , горизонтальная проекция которой проходила бы через выбранную проекцию М₁ ³ . Прямая m определена точками C и N, принадлежащими плоскости Q. Построив вторую проекцию m₂ прямой m в пересечении с линией связи, проведенной черезМ₁ ³ ,найдем искомую проекцию М₁ ³ .

Таким образом, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Изображаемая фигура называется оригиналом , а изображенная – проекцией данной фигуры.

2.1. Проекция окружности.

Параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность О, расположенную в плоскости общего положения Q (рис. 9) ортогонально на плоскость П₁ , получаем эллипс О₁ .

В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD, причем АВ пройдет по прямой уровня плоскости Q, а диаметр CD – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций П₁ . Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр А₁ В₁ эллипса, равный диаметру окружности, т.е. АВ=А₁ В₁ , а диаметр CD спроецируется в диаметр C₁ D₁ эллипса. Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Q к плоскости П₁ , то, обозначив его через φ, получим C₁ D₁ =CDcosφ. Взаимно перпендикулярные окружности диаметры обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании сохраняется. Следовательно, диаметры А₁ В₁ и C₁ D₁ будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, они взаимно перпендикулярны, поэтому являются осями эллипса, причем А₁ В₁ большая ось, а C₁ D₁ малая ось.

2.2. Проекция треугольника, параллелограмма и трапеции.

Треугольник изображается треугольником любой формы. Медиана треугольника будет изображаться медианой, так как отношение отрезков сохраняется. При проекции биссектрисы и высоты пойдет искажение.

Так как параллельность прямых сохраняется, то изображение параллелограмма, в частности, прямоугольника, ромба, квадрата, служит параллелограмм. Длина сторон и величины углов произвольные.

Любая трапеция изображается в виде произвольной трапеции. Сохраняется только отношение оснований. Равнобокая трапеция имеет ось симметрии. Ее изображают следующим образом (рис. 10). Каждое из оснований делим пополам и проводим ось симметрии.

2.4. Проекции правильного шестиугольника.

При построении оригинала правильного шестиугольника используют два симметричных ро

Учебная работа № 1938. Решение задач с помощью ортогонального проектирования