Учебная работа № 1870. Методы численного моделирования МДПструктур

Учебная работа № 1870. Методы численного моделирования МДПструктур

Министерство общего и профессионального

Образования Российской Федерации

Воронежский государственный университет

Физический факультет

Курсовая работа

Методы численного проектирования МДП приборов

Воронеж, 1999

Реферат

страниц 23,рисунков 4

В данной работе представлен обзор литературы по теме “ Методы численного проектирования МДП приборов”.Обзор содержит обобщающее введение в проблему получения математических моделей МДПструктур,методы и алгоритмы решения задачи численного моделирования.

Содержание

I.……………………………………………………………………3

II.Математическая модель…………………………………………….…….4

1.1 Основные уравнения……………………………………………….4

1.2 Модели подвижности и рекомбинации.Краевые и начальные

условия………………………………………………………………7

III.Численное решение основной системы уравнений ……………………8

3.1 Алгебраизация ФСУ………………………………………………..9

3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона…………………………..11

3.1.2 Дискретизация уравнения непрерывности……………………13

3.2 Решение нелинейной алгебраической задачи……………………13

3.2.2 Другой вариант метода установления…..……………………14

3.2.3 Методы линеаризации для решения нелинейной системы…15

3.2.3.1 Итерационные методы решения линеаризированных

уравнений……………………………………………………17

IV.Заключение…………………………………………………………………22

Литература…………………………………………………………………….23

I..

С середины 60х гг. начало складываться новое направление в моделировании п/п приборов, предполагающее замену реального объекта его математической моделью, которая впоследствии решается на ЭВМ методами вычислительной математики. Моделью фрагмента твёрдотельной микроэлектронной структуры является система уравнений физики полупроводников, описывающая процессы переноса носителей заряда и распространения потенциала электрического поля в приборе. Такой подход позволяет учесть и исследовать различные нелинейные физические эффекты (Эрли, Кирка и др.) и их влияние на внешние электрические характеристики приборов.

Развитие вычислительной техники и появление эффективных численных методов решения уравнений математической физики сделали возможным появление двух и трёхмерных моделей. Необходимость таких моделей обусловлена рядом причин .

1.При анализе приборов с микронными размерами рабочих областей необходим многомерный подход.

2.Во многих современных приборах движение носителей тока имеет двумерный характер.

3.Многомерный анализ позволяет часто в традиционных приборах увидеть новые эффекты.

4.Невозможность внесения исправлений в готовый прибор и неоправданные затраты на совершенствование п/п приборов с помощью многочисленных тестовых итераций делают эффективной и экономически оправданной методологию численного моделирования.

Таким образом, располагая пакетом программ, реализующими численные модели, можно проектировать приборы непосредственно на ЭВМ, значительно сокращая количество длительных и дорогостоящих экспериментов.

В данной работе описываются двумерные численные модели, основанные на решении уравнений переноса носителей с помощью аппарата конечных разностей.

II.Математическая модель.

1.1.Основные уравнения .

Моделируемая МДПструктура, заполняющая некоторый объём, рассматривается как обьеденение областей, каждая из которых соответствует определённому материалу (рис.1) .Математические модели состояния металлических контактов считаются известными. Следовательно, моделированию подлежат тоько области полупроводника и диэлектрика.

Можно записать систему уравнений с достаточной точностью описывающую процессы, происходящие в полупроводнике [1].

Потенциал электрического поля описывается уравнением Пуассона:

Dj= q(pn+NdNa)/ee₀ ,(1.1)

¶n ¶t

Уравнение непрерывности для носителей заряда:

divJ_n qR_n q =0 , (1.2)

¶p ¶t

divJ_p +qR_p +q =0 , (1.3)

J_n =qD_n ÑnnV_n , (1.4)

J_p = pV_p –qD_p Ñp , (1.5)

Где n и p концентрации электронов и дырок; j электрический потенциал;D_n и D_p –коэффициенты диффузии для электронов и дырок; V_n иV_p –скорости дрейфа электронов и дырок;J_n иJ_p плотности потоков электронов и дырок; R превышение скорости рекомбинации над скоростью генерации , Naи Nd концентрации донорной и акцепторной примеси; q заряд электрона; ee₀ диэлектрическая проницаемость.

Исток Затвор Сток

Lx x

Подложка

Рис.1.Схематическое изображение МДПструктуры.

Необходимо отметить, что эффекты сильного легирования не оказывают существенного влияния на процессы в МДПструктурах [1], поэтому в уравнениях (1.4) –(1.5) они не учтены.

Уравнение Пуассона описывает области полупроводника и диэлектрика.Уравнения непрерывности действительны только для полупроводникового материала. На границе раздела диэлекрикполупроводник ( на линии AB рис.1) выполняются условия [2]:

e_п [Ñj_п 5h]e_д [Ñj_д 5h]=s ,

гдеhеденичный вектор, ортогональный границе раздела, sповерхностная плотность заряда ,которая считается известной (часто полагают s =0).

Для упрощения вида уравнений пользуются нормировкой всех величин входящих в систему, для этого все величины домножаются на соответствующий коэффициент. Масштабные коэффициенты приведены в литературе[2][3].

Уравнения (1.1)(1.5) можно записать в интегральной форме:

ò

ò

S

(J_n ·h)dS= R₀ dV, (1.51)

V
ò V
	ò S

(J_p ·h)dS= R₀ dV , (1.52)

ò S
	ò V

e(Ñj ·h)dS=(npNN_s )dV,(1.53)

N=NdNa,

N_s =s/h,

N_s ”концентрация” поверхностного заряда,приведённая к обьёму ячейки V_i

( hсторона ячейки,перпендикулярная к границе раздела).

Система (1.51)(1.53) содержит три интегральных тождества каждое из которых соответствует уравнению Пуассон, либо уравнению непрерывности.

Причём теперь уравнение Пуассона описывает как точки принадлежащие диэлектрической и полупроводниковой средам, так и точки, лежащие на границе раздела этих сред.

1.2. Модели подвижности и рекомбинации. Краевые и начальные условия.

Для полной постановки задачи помимо основных уравнений (1.1)(1.5)

1/2

((1.51)(1.53)) необходимо задать модели подвижностей m_n иm_p , скорости рекомбинации R(p,n), а так же сформулировать краевые и начальные условия. В настоящее время применяются различные эмпирические формулы для m_n и m_p .Наиболее широко применяется модель Ямагучи [1][2], согласно которой m_n и m_p определяются по формулам:

m_n = 65+1265 (1+ ( Nt /8.5 10¹⁶ )^0.72 )¹ r1+|E/8000| ² ,(1.60)

m_p = 47.7+ 447(1+( Nt / 6.3 10¹⁶ )^0.76 )¹ r1+|E/1.95 10 ⁴ | , (1.61)

где Nt=Na+Nd,

Скорость рекомбинации обычно задают, учитывая рекомбинацию Оже и ШоклиРидаХолла, а так же ударную ионизацию:

R₀ =R_шрх +R_Oже G_уд , (1.70)

np­ ­ni ­2 tp0 (n+n1 )+tn0 (p+p1 )

R_шрх = , (1.71)

R_оже =(C_n n+C_p p)(npn_ie ² ), (1.74)

G_уд =a_n nV_n +a_p pV_p , (1.73)

n_i =n_ie exp[(E_t E_i )/kT],(1.74)

n_ie =exp[qD_G /2kT]; (1.75)

n_ie эффективная собственная концентрация носителей заряда .

E_t –энергетический уровень центров рекомбинации,

D_G экспериментально определяемый параметр,

a_n ,a_p коэффициенты ионизации для электронов и дырок,

В точках поверхности раздела полупроводникметалл концентрации носителей определяются профилем легирования :

n₀ =N/2+ (N/2)² +n_ie ² , (1.80)

p₀ =N/2+ (N/2)² +n_ie ² , (1.81)

Значение электрического потенциала зависит ещё и от прикладываемого к контакту напряжения:

j=U+l n(n₀ /n_ie ) или j=U+l n(p₀ /p_ie ) , (1.90)

Для отражения границ задаются условия:

(Ñjh)=0,(J_n h)=0,(J_p h)=0 , (1.91)

Таким образом, математической моделью фрагмента МДПструктуры является система дифференциальных уравнений в частных производныx, дополненная соответствующими граничными условиями. Такая система называется основной или фундаментальной (ФСУ).

III.Численное решение основной системы уравнений.

Всё многообразие численных моделей можно разделить на два больших класса.Модели, относящиеся к первому, основаны на решении уравнений переноса носителей численным методом, а именно, с помощью аппарата конечных разностей. Модели второго класса основаны на представлении активного прибора в виде совокупности большого числа сосредоточенных элементов или отдельных секций, отражающих многомерный характер структуры прибора.

В данной работе рассматриваются модели МДПструктур, относящиеся по введённой классификации к первому классу. В этом методе производные

неизвестных функций, входящие в исходные дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяются конечноразностными отношениями (построение разностной схемы), в результате чего получается система алгебраических уравнений, которая затем решается прямыми или итерационными методами.

3.1. Алгебраизация ФСУ,

На первом этапе решения системы дифференциальных уравнений необходимо осуществить алгебраизацию задачи путём аппроксимации на сетке множества точек, которыми моделируется область изменения неизвестных.

Каждое из трёх основных уравнений математической модели в интегральной форме выражает закон, который выполняется как в элементарной ячейке, так и во всей области определения,что является следствием фундаментальных физических свойств непрерывности электрического смещения и тока.конечноразностная схема предполагает сохранение этих свойств и для алгебраических уравнений.

Рассмотрим некоторые вопросы касающиеся построения сеток дискретизации[2]. Соображения удобства реализации алгоритма решения основной системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать сетку в областях локальных неоднородностей (рис.2.б).

При автоматическом построении сетки нужно знать где необходимо сгущение узлов и как интерполировать различные величины для вновь введённых точек сетки. Пространственная сетка должна быть такой, чтобы ошибка дискретизации была распределена по ней равномерно, т.е чтобы частные производные по пространству аппроксимировались с заданной точностью. Метод конечных разностей наиболее удобно реализуется на непрерывных

Учебная работа № 1870. Методы численного моделирования МДПструктур