Учебная работа № 1701. Высшая математика
Содержание
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. | |
машин с водителями ежедневно уходят в рейс. | |
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс изза профилактического ремонта автомашин. | |
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс изза профилактического ремонта автомашин. | |
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс изза профилактического ремонта автомашин. |
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Построить график функции спроса Q=QD (P) и предложения Q=QS (P) и найдите координаты точки равновесия, если , .
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD (P) и предложения Q=QS (P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0): | С осью OQ (P=0): | |
Для Q=QS (P): | Для Q=QD (P): | |
Т.к. функции QS (P) и QD (P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда
Ответ:Координаты точки равновесия равны
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ:Производная заданной функции равна
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
1. Область определения данной функции:
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью OY |
С осью OX |
|
|
Точка пересечения: |
Точки пересечения: |
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение:
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.
На участке
На участке
Следовательно
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е.
Отсюда
На участке
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при
На участке
Следовательно, точки
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Фирма производит товар двух видов в количествах
Решение:
Пусть
Найдем первые частные производные функции
Следовательно
введем обозначения:
тогда
Ответ:
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
Решение:
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:Решением данного уравнения является
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения:
фундаментальную систему решений образуют функции:
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений
Представим правую часть уравнения, как
Сравним коэффициенты при
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
Ответ:
Найти предел:
Ответ:Заданный предел равен
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
Решение:
1. Область определения данной функции:
2. Т.к. точка
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:
асимптоты имеет вид:
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты
координат:
С осью OX: точка
с осью OY: точка
Ответ:
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите:
Решение:
Т.к. по определению производная функции
Следовательно
Ответ:
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
Решение:
Ответ:Заданный предел равен
Дополнительно Часть I I .
Написать в точке
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
1.
Эта система имеет четыре решения:
Точка |
|
Точка |
|
Точка |
|
Точка |
2.
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
Точка |
|
Точка |
|
Точка |
|
В точке |
Следовательно, заданная функция
Ответ:Заданная функция
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение:
Решение:
Ответ:
Решением данного уравнения является