Учебная работа № 1433. Мода, медиана, квартили

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1433. Мода, медиана, квартили

.

С.В. Усатиков, кандидат физмат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физмат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук

Очень часто исследователю приходится иметь дело с достаточно длинным вариационным рядом или с целой серией таковых. Это могут быть экономические показатели, результаты тестирования различных групп, медикофизиологические замеры и т.п. При их анализе зачастую недостаточно выделения средних арифметических и дисперсий. В подобных случаях хорошую службу могут сослужить приемы выделения моды и медианы, а также перцентильный анализ.

Суть данного метода заключается в том, что объектом анализа являются не частоты сами по себе, а их распределение относительно жестко структурированных вариант. Значимость метода заключается не в том, что при его помощи мы анализируем конкретный вариационый ряд. Понятия моды и медианы являются важной составляющей частью так называемого нормального распределения, являющегося основой для расчетов выборки, доказательства или опровержения выдвигаемых гипотез.

Мода. Мода представляет из себя наиболее часто встречающиеся значения распределения. При этом следует помнить о различиях модального значения для дисперсных и непрерывных характеристик. В первом случае модой является варианта с наибольшей частотой скажем, максимальный процент выборов в вопросе с номинальной шкалой. Если же речь идет об интервальном ряде, представляющем собой непрерывную характеристику признака, то модальным значением будет являться группа с наибольшим числом наблюдений.

Дискретный ряд (номинальная шкала). Каждая варианта ряда отдельное явление. В группе учащихся, указавших на стремление к получению высшего образования, выделены желаемые профессии (Сумма№ 100%, т.к. имелась возможность нескольких выборов)

Непрерывный ряд (шкала отношений). Каждая варианта ряда сгруппированные значения одного класса явлений.

Результаты испытаний по тесту, в котром минимально возможное значение 0 баллов, максимальное 100

1. врач 15% 1. до 10 баллов 0 чел.
2. инженерстроитель 18% 2. 1120 баллов 0 чел.
3. агроном 11% 3. 2130 баллов 4 чел.
4. военнослужащий 9% 4. 3140 баллов 11 чел.
5. банкир 4% 5. 4150 баллов 23 чел.
6. менеджер 9% 6. 5160 баллов 34 чел.
7. педагог 13% 7. 6170 баллов 19 чел
8. переводчик 15% 8. 7180 баллов 14 чел.
9. бухгалтерэкономист 31,2% 9. 8190 баллов 7 чел
10. 91100 баллов 1 чел.

(Модальные значения выделены жирным шрифтом)

При всей практической полезности понятия моды, необходимо отметить, что ей присущ ряд недостатков. Она не может служить четким выражением центральной тенденции. Максимальная частота может преврсходить остальные на порядок (например, 60% в одном пункте при 35% в 9 остальных). Кроме того, возможно встретить ряд, в котором имеется 2 или более численно значимых частоты при малых значениях остальных позиций. В этом случае подобные ряды относятся к бимодальным или полимодальным распределениям( см. рис.1 и 2).

Рис.1 Бимодальное распределение Рис.2 Полимодальное распределение

Помимо этого при работе со шкалой отношений мода будет не только “кочевать” из одной группы в другую в зависимости от размера интервала (это вполне естественно), но при этом изменится, зачастую весьма значительно, ее величина.

Эти недостатки моды обуславливают то обстоятельство, что в анализе эта измерительная процедура практически не используется. что впрочем не исключает ее применеия в описательных целях, в основном в виде фраз типа “модальное значение признака лежит в интервале…”.

Медиана. Медианой именуется центральное (серединное) наблюдение в ряду распределения. Так, в ряду из 203 наблюдений медианным будет являться 102. При четном числе наблюдений медианой является среднее арифметическое из тех двух наблюдений, которые делят ряд на две равные части (при n=202, это были бы №№ 101 и 102). Для ряда логических процедур требуется более дробное деление ряда, поэтому кроме медианы выделяются по мере необходимости децили (1/10 ряда), квинтили (1/5) и квартили (1/4). Таким образом, любой ряд может быть разбит на 2 части медианой, на 4 квартилями, на 5 квинтилями, на 10 децилями. Продемонстрируем эти значения, а также ряд осуществляемых с ними процедур на гипотетическом примере. Допустим, при опросе родителей учащихся был использован традиционный вопрос о размере душевого дохода в семье(см. таб1).

Таблица 1. Распределение по уровню душевого дохода семей учащихся станицы Нской

1 33000 21 50000 41 69000 61 91000 81 107000
2 33400 22 52000 42 71000 62 91100 82 120000
3 34000 23 53000 43 73000 63 91300 83 120400
4 35000 24 53800 44 73000 64 91900 84 122000
5 35500 25 55000 45 75000 65 94000 85 124000
6 36000 26 57000 46 77000 66 95000 86 126000
7 37000 27 57000 47 78000 67 96000 87 127000
8 38000 28 58500 48 78100 68 96500 88 133000
9 39700 29 59000 49 79000 69 96600 89 135000
10 41000 30 59000 50 80000 70 96700 90 139000
11 42000 31 60000 51 80000 71 97000 91 141000
12 42000 32 62000 52 81200 72 99000 92 155000
13 43000 33 62000 53 82000 73 99000 93 170000
14 44000 34 62400 54 83000 74 99100 94 172000
15 45000 35 63000 55 84000 75 99600 95 175000
16 45000 36 64000 56 85000 76 100000 96 177000
17 46000 37 65000 57 85000 77 100000 97 200000
18 47000 38 65700 58 86000 78 100000 98 205000
19 47000 39 65800 59 88000 79 101000 99 210000
20 49000 40 66000 60 90000 80 105000 100 250000
101 1750000
Всего: 10398300

Оставим пока в стороне проблему обснования результата (вероятность ошибки, сложность учета двух и более источников дохода, перевод в денежные суммы неденежных поступлений и т.п.). Естественно, что приведенные в таблице данные отражают не только социальноэкономическое расслоение (хотя его нельзя сбрасывать со счетов). Первые два десятка наблюдений будут состоять как из низкооплачеваемых работников, так и многодетных семей, для которых естественен низкий уровень душевого дохода даже при высоких заработках. Аналогично для последних 1020 человек будет характерна противоположная тенденция признак относительной высокой зарплаты в этой группе будет сочетаться с незначительным числом детей фактором, сильно повышающим признак душевого дохода в семье.

Приведенный выше график наглядно демонстрирует как работают меры центральной тенденции. При среднем арифметическом в примере 103000 руб. медиана рассекла ряд как раз на уровне почти в два раза меньшем (т.е. 50% в группе имеют душевой доход в 60000 и ниже, вторые 50% более 60000). И таблица, и график наглядно демонстрируют, каким образом несколько численно значимых членов ряда могут резко повысить значение средней арифметической. (В нашем примере 3 квартиля, т.е. 3/4 семей имеют доход менее ).

Этот прием весьма удобен для официальной статистики, и государственными органами в различных странах широко используется в целях дезинформации общественности. Поэтому во избежание недоразумений при работе с экономическими показателями обычно используются так называемый децильный коэффициент. Чаще всего он употребляется при анализе распределения уровня дохода и выражает соотношения денежного дохода 10% наиболее высокооплачиваемых и 10% лиц , имеющих наименьший доход (т.е. соотношение верхнего и нижнего децилей). Этот коэффициент, по сравнению с другими формами расчетов, более удобен для произведения каких либо выводов относительно социальноэкономической неоднородности общества, дисперсии оплаты труда в помеченных группах или внутри одной отрасли и т.п. В нашем случае это значение просчитать довольно просто отношение доходов в семьях №№ 92101 к семьям №№ 110 составит 3454000/362600, т.е. 9,55 к 1.

Учебная работа № 1433. Мода, медиана, квартили