Учебная работа № 1221. Метод конечных разностей или метод сеток

Учебная работа № 1221. Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U = f

Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .

U = 0 Y

x=0 b

U xxx = 0

x=0

G

U x = 0

x=a

U xxx = 0 0 a X

x=a

U = 0 U = 0

y=0 y=b

U y = 0 U xx + U yy = 0

y=0 y=b y=b

Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G построим равномерные сетки W x и W y с шагами h x и h y соответственно .

W x ={ x(i)=i h x , i=0,1…N, h x N=a }

W y ={ y(j)=j h y , j=0,1…M, h y M=b }

Множество узлов U ij =(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i) ,y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :

W={ U ij =(ih x ,j h y ), i=0,1…N, j=0,1…M, h x N=a, h y M=b }

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j) .

Пусть задана сетка W .Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W сетка с шагом h введённая на R т.е.

W={X i =a+ih, i=0, + 1, + 2…}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Y i =Y(X i ) , X i из W , определяется по формулам :

L 1 Y i = Y i Y i1 , L 2 Y i = L 1 Y i+1

h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :

L 3 Y i =Y i+1 Y i1 = ( L 1 + L 2 )Y i

2h 2

Разностные операторы A 1 , A 2 , A 3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n1 порядка, например :

Y xxi =Y xi+1 Y xi = Y i1 2Y i +Y i+1

2

h h

Y xxi = Y xi+1 Y xi1 = Y i2 2Y i +Y i+ 2

2

2h 4h

которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

AU = f

или в развёрнутом виде :

M

a ij U j = f i , i=1,2…M

i=1

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=( a ij ) отличны от нуля ( a ii <>0 ) записывается в следующем виде :

i (k+1) M (k)

a ij Y j + a ij Y j = f i , i=1,2…M

j=1 j=i+1

(k)

где Y j j ая компонента итерационного приближения номера k . В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение ( k +1) ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a 11 Y 1 = a 1j Y j +f 1

j=2

(k+1)

Так как a 11 <>0 то отсюда найдём

Учебная работа № 1221. Метод конечных разностей или метод сеток