Учебная работа № 1057. Математический анализ

Учебная работа № 1057. Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество совокупность некоторых объектов

Элементы множества объекты составляющие множество

Числовые множества множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать множество тех а таких что…

A={аР(а)} равноценны

Р(а) предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ : Конструирование из других множеств:

AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}

U универсальное множество (фиксированное)

U³A; U \ A = A’ = cA (A’ дополнение множества A)

Свойства:

1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC ассоциативность; AÚB=BÚA коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U

2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) дистрибутивность; АÙÆ=А

A” =A закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ

Иллюстрация свойств: Диаграммы ЭйлераВенна.

«=>» cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’

«<=» cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aÎA; bÎB => b образ элемента а при отображении f; a прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое колво элементов), а отображение биективно взаимооднозначно.

Счетные множества множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1 : » nÎN Z/n счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®1/n 7®3/n

4®+2/n …

Лемма 2 : Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств счетно.

А1={а₁₁ , а₁₂ , а₁₃ ,…}

А2={а₂₁ , а₂₂ , а₂₃ ,…}

А3={а₃₁ , а₃₂ , а₃₃ ,…}

…

Применяем диагональную нумерацию (а₁₁ 1; а₂₁ 2; а₁₂ 3; а₃₁ 4; а₂₂ 5…) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств счетно.

Часть может быть равномощна целому: (1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа множество чисел вида [a₀ ],а₁ a₂ а₃ … где а₀ ÎZ а₁ ,а₂ ,а₃ ,… Î{0,1,…,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о ],а₁ а₂ а₃ …а_к (0) = а_о + а₁ /10 + а₂ /100 + … +а_к /10^k = [а_о ],а₁ а₂ а₃ …а’_к (9), где а’_к =а_к1

х=[х_о ],х₁ х₂ х₃ …х_к …

у=[у_о ],у₁ у₂ у₃ …у_к …

х’_к катое приближение икса с недостатком = [х_о ],х₁ х₂ х₃ …х_к

у”_к катое приближение игрека с избытком = [у_о ],у₁ у₂ у₃ …у_к + 1/10^k

х’_к+1 > х’_к (х’_к монотонно растет)

у”_к+1 £ у”_k (у”_k не возрастает), т.к. у”_к =[у_о ],у₁ у₂ у₃ …у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о ],у₁ у₂ у₃ …у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к у”_к+1 = 1/10^к у_к+1 + 1/10^к+1 ³ 0

10 у_к+1 1 / 10^к+1 ³ 0

9 ³ у_к+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’_к > у”_к

2) х = у <=> х’_к не> у”_к & у”_к не> х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)» х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Докво (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и » х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х₁ =[х₁ ], х₁₁ х₁₂ х₁₃ … |

2«х₂ =[х₂ ], х₂₁ х₂₂ х₂₃ … | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х₃ =[х₃ ], х₃₁ х₃₂ х₃₃ … |

… | (*)

к«х_к =[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3 … |

… |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃ …

[с]¹[х₁ ] => с¹х₁

с₁ Ï {9;х₂₁ } => с¹х₂

с₂ Ï {9;х₃₂ } => с¹х₃

…

с_к Ï {9;х_к+1к } => с¹х_к

Таким образом С число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) » aÎA, » bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: » aÎA, » bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

» aÎA, » bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => «bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опрнию. «с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)противоречие с «aÎA, «bÎB: а£с£b

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n₀ : «n>n₀ x_N £y_N £z_N и $ Lim x_N =x, $ Lim z_N =z, причем x=z, то $ Lim y_N =y => x=y=z.

Доказательство: «n>n₀ x_N £y_N £z_N

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: «n>n’ x_N Î(хЕ,х+Е) & $ n”: «n>n” z_N Î(хЕ,х+Е) => «n>max{n₀ ,n’,n”} y_N Î(xE,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АÌR mÎR, m верхняя (нижняя) грань А, если » аÎА а£m (а³m).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что » аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m верхняя грань A

2) » m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n нижняя грань A

2) » n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1) » aÎA a£m

2) «e>0 $ a_E ÎA, такое, что a_E >ae

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) » aÎA a³n

2) «e>0 $ a_E ÎA, такое, что a_E <a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] разбиваем на 10 частей

m₁ =max[10*{a[m]:aÎA}]

m₂ =max[100*{a[m],m₁ :aÎA}]

…

m_к =max[10^K *{a[m],m₁ …m_K1 :aÎA}]

[[m],m₁ …m_K , [m],m₁ …m_{K + 1} /10^K ]ÇA¹Æ=>[m],m₁ …m_K + 1/10^K верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁ …m_K точная верхняя грань и что она единственная:

«к: [m’_K ,m”_K )ÇA¹0; «к «аÎА: а<m”_K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”_K => $ к: а’_K >m”_K => а³а’_K >m”_K это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’_K >l”_K , но так как «к [m’_K ,m”_K ) ÇA¹0 => $ аÎ[m’_K ,m”_K ) => а>l =>l не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю («Е>0 $ n₀ : n>n₀ |а_N |<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N =Lim b_N =0, c_N =a_N +b_N , d_N =a_N b_N . Так как вне любой эпсилонокрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N , т.е. $ n’: «n>n’: |a_N |<Е/2. Аналогично $ n”: «n>n”: |b_N |<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N |<Е/2 & |b_N |<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c_N |=|a_N +b_N |£|a_N |+|b_N |<E/2 + E/2 = E => |d_N |=|a_N b_N | £ |a_N |+|b_N |<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N бм послть, b_N ограниченная послть z_N =a_N *b_N .

Т.к. b_N ограниченная послть, значит $ такое с: |b_N |£с¹0

Т.к. a_N бм послть, значит вне любой Еокрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов послти a_N , т.е. $ n₀ : «n>n₀ |a_N |<Е/с.Таким образом «n>n₀ : |z_N |=|a_N *b_N |=|a_N |*|b_N |<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм послтей тоже бм послть

Теорема: Пусть a_N бм. Если $ n’: «n>n’ последовательностьть |b_N |£a_N => b_N бм

Доказательство: a_N бм => $ n”: «n>n”: |a_N |<Е. Для n>=max{n’,n”} |b_N |£|a_N |<Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если «Е>0 $ n₀ : n>n₀ |а_N |>Е)

Теорема: Если a_N бм, то 1/a_N бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

«=>» a_N бм=>вне любой эпсилонокрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов послти, т.е. $n₀ : «n>n₀ |a_N |<1/E =>1/|a_N |>Е.

«<=» 1/|a_N | бб последовательность => «Е>0 $ n₀ : «n>n₀ 1/|a_N |>1/Е => |a_N |<Е

Теорема: Пусть a_N бб. Если $ n’: «n>n’ последовательность b_N ³|a_N | => b_N бб.

Доказательство: a_N бб => $ n”: «n>n” |a_N |>Е. Для n>max{n’,n”} b_N ³|a_N |>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N =a, то |a_N a|<Е. Пусть a_N =a_N a. |a_N |=|a_N a|<Е

Обратное: Пусть a_N =a_N a, т.к. a_N бм => |a_N |£Е. |a_N |=|a_N a|<Е

Теорема: Если Lim x_N =x, Lim y_N =y, то:

1. $ Lim (x_N +y_N ) и Lim (x_N +y_N )=х+у

2. $ Lim (x_N *y_N ) и Lim (x_N *y_N )=х*у

3. «n y_N ¹0 & y¹0 => $ Lim (x_N /y_N ) и Lim(x_N /y_N )=х/у

Доказательство:

Пусть x_N =х+a_N , a_N бм; y_N =у+b_N , b_N бм

1) (x_N +y_N )(х+у)=a_N +b_N (По теореме о сумме бм: a_N +b_N бм => (x_N +y_n )(х+у)бм, дальше по предложению)

2) x_N *y_N х*у = х*a_N +у*b_N +a_N *b_N (По теоремам о сумме бм послтей и * бм послтей на огр. послти получаем: x_N *y_N х*у бм, дальше по предлнию)

3) x_N /y_N х/у = (у*a_N х*b_N ) / (у*(у+b_N ))= (у*a_N х*b_N ) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n сходящаяся не к 0 послть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N =y => по определению предела получаем $ n₀ : «n>n₀ |уnу|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: уу/2<у_N <у/2+у, откуда получаем: |у_N |³у_N >у/2.|у_N |>у/2=>1/|у_N |<2/у => «n: 1/|у_N |£max{2/у, 1/у₁ , 1/у₂ ,…1/у_no }

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и $ n₀ : «n>n₀ последовательность х_N £у_N , то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела «E>0 (в частности Е<(ух)/2): $n’: «n>n’ |x_N x|<E и $n”: «n>n” |y_N y|<E. Получаем «n>max{n’,n”} все члены послти x_N будут лежать в Еокрестности точки х, а все члены послти у_N будут лежать в Еокрестности точки у, причем

(хЕ,х+Е)Ç(уЕ,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то «n>max{n’,n”}: х_N >у_N противоречие с условием => х£у.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Учебная работа № 1057. Математический анализ