Учебная работа № 1051. Матанализ

Учебная работа № 1051. Матанализ

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,2, 3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,) Вид М/N, где (N0)M и N взаимно простые целые числа. Иррациональные √2 все вышеперече + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; i²=1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2ib2)/(a2+ib2)(a2ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2a1b2)\a2²+b2²=(a1a2+b1b2/a2²+b2²)+i* (b1a2

a1b2/a2²+b2²)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)

r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.

4 Zª=rª(cos Aφ+i*sin Aφ)

5 ª√Z=ª√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a1)

Все корни Аой степени лежат на окружности r=| Z |¹\а и являются вершинами правильного Аугольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,1,1,1…(1)ª

Xn,n∈N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E

lim Xn = A

n→∞

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε> 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в εокрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел (сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n→∞

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n→∞ n→∞ lim (Xn*Yn)=A*B

lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0

если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn

n→∞ n→∞

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченнойесли существует положительное число М, что выполняется нерво | Xn |≤M; n∈N

Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn)

n→∞

Свва БМВ:

lim αn=0

n→∞

lim (αn±βn)=0

n→∞

lim (Xn*αn)=0; если Xnограничена

n→∞

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X eª1 ~ a

tg X ~ X (1+x)ª ~ ax

1 – cos X ~ X²/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X xª1 ~ aLNx

9 Сумма элтов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.

Прим:

при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1q при | q |<1 и расходся при | q |≥1

10 Признак сравнения двух знакоположитх рядов.

есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N

тогда если ∑Bk⇒то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.

11Признак Даламбера

∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l

n→∞

то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

Признак Коши

∑An – знакополож. ряд lim ª√An=q

n→∞

q<1 – сходится ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1а2+а3а4…+ (1)в степ.(n1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n→∞ =0 то ряд сходится

пример 11/2+1/31/4…+(1)(n1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. харгумент

y=kx+b – линейная фия

y=ax²+bx+c – квадратичная фия

Обратная фия – фия x=φ(y) наз. обратной фией к прямой фии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х

Графики взаимно обратных фий симметричны относительно прямой у=х.

y=Xª и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом фии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | xx0 |<δ выполняется неравво | f(x)B | < ε

lim f(x)=B

x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения фии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15 lim f(x)=B

x→x0

Если B=f(x0), то фия f(x) – непрерывна в точке х0.

свва :

lim c=c

x→x0

если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

x→x0

lim (f(x)*φ(x))=b*c

x→x0

lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

x→x0

Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

x→x0 x→x0 x→x0

если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то свво 2 можно записать:

(Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если фия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке

16 Линейная фия непрерывна в любой точке А∈(∞;+∞)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k≠0 ⇒ | f(x)f(a) |<ε | kxbka+b | <ε

| k (xf) | <ε

| k |*| xa | <ε

| xa | < ε/| k |=δ(ε)

y=ax²+bx+c (∞;+∞)

17 y=Bª (B>0)

Докажем, что y=Bª непрерывна на (∞;+∞)

lim Bª=1

a→0

| Bª1 | <ε 1) B=1

2) B>1

ε < Bª1 < ε 1ε < Bª < ε+1

LOGb(1ε)<a<LOGb(1+ε)

min {LOGa(1ε); LOGa(1+ε)}= δε

| x | < δε

LOGaB

18 y=cos x (∞; +∞)

| cos x – cos a | < ε

| 2 sin (xa)/2 + sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (xa)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (xa)/2 | < ε

| xa | < ε =δ(ε)

y=sin x (∞; +∞)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk

19 Первым замечательным пределом называется

lim sin x/x=1

x→x0

20 Второй замечательный предел

lim(1+1/a)ª=e

a→∞

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

lim (1+a)¹’ª=e

a→0

21 Пусть имеется фия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что фия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

lim (f(x)f(x0))/(xx0)

x→x0

Производной фии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения фии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Фия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: прая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)

у=f ‘(x0)(x x0)

Механический смысл производной: прая пути по времени s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых фий равна такой же сумме производных этих фий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых фий равна произведению прой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на проую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых фий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух фий u(x)/v(x), если v(x)≠0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`vuv`)/v²; v≠0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=cv`/v² c=const

24 (xª)`=axªˉ¹

25 (LNx)`=1/x

(eª)`=eª

Для дифференцируемой фии с производной, не равной

0, производная обратной фии равна обратной величине

производной данной фии

X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

(cos x)`=sin x

(tg x)`=1/cos²x

(ctg x)`=1/sin²x

27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые фии от своих аргументов, то производная сложной фии существует и равна производной данной фии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(√x+5)³ y`=?

y=u³, где u=√x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)²(√x+5)`=3(√x+5)²/2√x

28 Дифференциалом фии наз. линейная часть приращения фии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал фии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику фии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

29 При исследовании фий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность фии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x) =∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимптй

(4)Если производная фии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то фия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой фии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0точка экстремума (минимума или

максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной фии (f«(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых фия выпукла вниз и

вверх.

Фия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f«(x)>0 на (a;b); фия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f«(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой графика фии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках

разрыва фии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –

конечные числа

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимптй

Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть

правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xª = b0+b1x+b2x²…+baxª+… это ряд в котором членами являются фии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда.

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*| x |ª

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для любого степ. ряда (1) сущет такое неотрицат. число R≥0 что этот ряд сходится абсолютно при | x |<R и расходится при | x |>R; R – радиус сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится

>1 (n→∞) расходится

32 Разложение фий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая фия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(xx0)+n*An(xx0)ªˉ¹

f(x)=f(x0)+f1(x0)(xx0)+…+fª(x0)(xx0)ª/a!

Рядом Тейлора фии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (хх0)

Особенно часто используется разложение фии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f ª(0)/a!*xª

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eª=1+x+x²/2!+x³/3!+…+xª/a!+…

sin x=1+ xx³/3+…+(1)ª*(x²ªˉ¹)/(2a+1)!+…

cos x=1x²/2!+x⁴/4!+…+(1)ⁿ*x²ⁿ/(2n)!+…

ln(1+x)=xx²/2+x³/3…+(1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1…

33 Фия F(x) наз. первообразной для фии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от фии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Свва неопр.∫

∫dF(x)=F(x)+C

(∫f(x)dx)`=f(x)

∫αf(x)dx=α∫f(x)dx

∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)

∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=1/5 cost+C =1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегририе по частям:

∫ U·dV=UV∫VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцирие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что диффие не слишком усложнит другой)

∫ x²·sinx dx

x²=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=cos x

∫ = x²·sin x dx=x²·cos x ∫(cos x)2x dx=x²·cos x+2∫x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

∫ = x²·sin x dx=x²cos x +2(x·sin x∫sin x dx)= x²·cos x+2x·sin x +2cos x+C

36 Рациональной дробью называется фия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)многочлен степени m, Qn(x) многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n, в противном случае дробь неправильная.

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

37 Определённым интегралом от фии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Cвва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B

A)≤∫f(x)dx≤M(BA)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(BA)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула НьютонаЛейбница:

∫f(x)dx=F(B)F(A)→F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ∫

1 Вычисление площадей (НЛейб)

Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)<0 то S=∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. фий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=π∫f²(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула НЛейб.

2 Метод прямоугольника

(BA)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

nчётное

∫f(x(dx=(BA)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn1+fn)

40 Несобственные ∫ бывают 2х видов:

∫ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx; ∫(∞;b)f(x)dx; ∫(∞;+∞)f(x)dx

называются несобственными ∫и 1го рода

Если сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то интеграл сходится и наоборот.

Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть фия f(x)=Ax на интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

Если lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то ∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ∫(a; bδ)f(x)dx

δ→0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,x3…xn) из некоторого мнва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана фия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если сущет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.

Если сущет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от фии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом фии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и фия дифференцируема (т.е. имеет частные произвые) то частные произвые в этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)

2 Определение известных параметров этой фии

Для линейной зависимости сущет метод наименьших

Учебная работа № 1051. Матанализ