Учебная работа № 1455. Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. «e»xÎE $u: ║xu║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. EНП LÌE, «eÎ(0,1) $ze ÎE\L ║ze ║=1 r(ze ,L)>1e
Определение: Полное нормированное пространство любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если «xÎE $uÎL: ║xu║<e
Теорема: Чтобы L было плотно в H ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – AxAx0 при x x0
Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор «║x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема: A – ограниченный «xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен чтобы он была ограничен
Теорема: {An } равномерно ограничена {An } ограничена.
Теорема: {An x} – ограниченно {║An ║} ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An A║0, n¥, обозначают An A
Определение: Слабая сходимость «xÎX ║(An A)x║Y 0, n¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость {An } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: БанахаШтенгауза An A n¥ слабо 1) {║An ║} ограничена 2) An A, x’ÌX, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)Y, D(A)ÌX $ A’:XY 1) A’x=Ax, xÎD(A) 2) ║A’║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность $a «x: ║x(t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность «t1 ,t2 $d: ║x(t1 )x(t2 )║<e
Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {xÎX | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X* :=L(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A* : Y* X*
Теорема: Банаха A:XY и X,Y полные нормированные пространства. Тогда $A1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А непрерывнообратимый если 1) A обратим, 2) R(A)=Y, 3) A1 ограничен.
Теорема: A1 $и ограничен $m>0 «xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XY – линейный ограниченный функционал $! yÎH «xÎH f(x)=(x,y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно «e>0 $конечная eсеть
Теорема: Арцела. MÌC[a,b] компактно все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X,Y) A* Îs(X* ,Y* )
Линейные нормированные пространства
1. Пространства векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
2. Пространства последовательностей
p>1
или пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
3. Пространства функций
пространство непрерывных на функций
£p [a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
Неравенство Гёльдера
Неравенство Минковского