Учебная работа № 2110. Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
Выпускная квалификационная работа
Выполнила студентка V курса математического факультета Овчинникова Елена Александровна
Вятский государственный гуманитарный университет
Киров 2005
Раздел математической логики – теория нестандартных моделей математического анализа относительно молод и недостаточно освещён в математической литературе. Поэтому мне интересно было осветить его элементы в своей квалификационной работе.
Целью работы является освещение теории стандартных операторов, исследование резольвенты и спектра оператора с помощью стандартных методов математического анализа, а затем, после введения основных понятий и предложений нестандартного анализа, с помощью нестандартных методов.
В ходе работы были описаны резольвентное и спектральное множества операторов, а так же приведены их примеры на стандартных и нестандартных операторах.
История нестандартного анализа
Возраст нестандартного анализа колеблется от четырёх десятков до трех сотен лет. Четыре десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 года, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров Принстонского университета доклад о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получается, если считать началом нестандартного анализа появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница.
Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: вопервых, это идущая от классиков математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых – традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, менее очевидный источник – нестандартные модели аксиоматических систем, появившиеся в математической логике.
К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработаны и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применении бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию нестандартного анализа. В 1961 г. появилась статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской академии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения. В течение последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. книга В.А. Дж. Люксембурга “Нестандартный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел”, в 1966 г. книга самого А. Робинсона “Нестандартный анализ” и в 1969 г. книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лекции о нестандартном анализе”.
Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии содержалось как построение необходимого логикоматематического аппарата, так и многочисленные приложения – к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости.
В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстейна и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа было получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиально компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “взгляд в гильбертово пространство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задача о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве , для которых оператор
компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиальнокомпактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.
Приложения нестандартного анализа внутри математики охватывают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди них мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообещающим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц. Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.
В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “ в теорию бесконечно малых” К. Д. Стройана и В. А. Дж. Люксембурга.
Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в области прикладной математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений.
В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. В течение последнего десятилетия нестандартный анализ (точнее, элементарный математический анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений США.
Определение и примеры линейных операторов
Пусть Е и Е1 – два линейных топологических пространства. Линейным оператором, действующим из Е в Е1, называется отображение
y=Ax (xE, y
удовлетворяющее условию
А(
Совокупность DA всех тех х
Оператор называется непрерывным, если он любую сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся последовательность.
Пример 1: Пусть Е – линейное топологическое пространство. Положим
Iх=х для всех х
Такой оператор I, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.
Пример 2: Если Е и Е1 – произвольные линейные топологические пространства и
0х=0 для всех х
(здесь 0 – нулевой элемент пространства Е1), то 0 называется нулевым оператором.
Непрерывность оператора в первых двух примерах очевидна.
Пример 3: Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное:
Пусть А – линейный оператор, отображающий nмерное пространство Rn с базисом е1,е2,…,еn в mмерное пространство Rm c базисом f1,f2,…,fm. Если х – произвольный вектор на Rn, то
х=
и, в силу линейности оператора А,
Ах=
Таким образом, оператор А задан, если известно, во что он переводит базисные векторы е1,е2,…,еn. Рассмотрим разложение векторов Аеi по базису f1,f2,…,fm. Имеем
Аеi=
Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов аi j. Образ пространства Rn в Rm представляет собой линейное подпространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы
Пример 4: Пусть А – линейный оператор, отображающий пространство квадратных матриц размерности m на себя. Пространство квадратных матриц размерности m – конечномерное, следовательно, линейный оператор задаётся матрицей размерности m. Таким образом, получается пример, похожий на пример 3, только в роли конечномерного пространства векторов здесь выступает конечномерное пространство квадратных матриц.
Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определён на всём Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное множество. Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно, справедливы следующие утверждения.
Всякий непрерывный оператор ограничен.
Если А – ограниченный оператор, действующий из Е в Е1, и в пространстве Е выполнена первая аксиома счётности (если каждая точка топологического пространства имеет счётную определяющую систему окрестностей, т.е. систему окрестностей точки, обладающую следующими свойствами: каково бы ни было открытое множество G, содержащее эту точку, найдётся окрестность из этой системы, целиком лежащая в G), то оператор А непрерывен.
То есть, в пространствах с первой аксиомой счётности ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.
Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор а называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество. В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается
Теорема: Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное,
Определение: Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовём суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу х
y=Ax+By
С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения Dc есть пересечение DA
Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причём
Это следует из:
Определение: Пусть А и В – линейные операторы, причём А действует из пространства Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2. Произведением ВА операторов А и В называется оператор, ставящий в соответствие элементу х
z=B(Ax)
из Е2. Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех х
Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА ограничен, причём
Это следует из:
Обратный оператор. Обратимость
Пусть А – оператор, действующий из Е в Е1, и DA – область определения, а RA – область значений этого оператора.
Определение: Оператор А называется обратимым, если для любого
имеет единственное решение.
Если А обратим, то каждому
Рассмотрим оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное. Выше было сказано, что он задаётся матрицей коэффициентов. Таким образом, оператор обратим, если обратима матрица коэффициентов, которой он задаётся. А матрица обратима лишь в том случае, если её определитель не равен нулю. То есть матрицы, которые имеют ненулевой определитель, задают обратимый оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное.
Теорема: Оператор
Теорема Баноха об обратном операторе: Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор
Теорема: Пусть ограниченный линейный оператор А0, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1, обладает ограниченным обратным
Теорема: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что норма
Резольвента линейного оператора
Определение и примеры резольвенты оператора
Рассмотрим оператор А, действующий в (комплексном) линейном топологическом пространстве Е, и уравнение
Ах=
Решения этого уравнения зависят от вида оператора
уравнение Ах=
существует ограниченный оператор
оператор
Введём следующую терминологию. Оператор
В конечномерном же случае имеется лишь две первые возможности. Причём,
Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.
Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:
С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:
здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при
Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде:
Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А:
тогда
Резольвентное множество. Спектр
Пусть А – оператор, действующий в Впространстве. Если
Теорема: Резольвентное множество
Доказательство:
Пусть
Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда
Учебная работа № 2110. Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора