Учебная работа № 2060. Математическая логика и теория алгоритмов

Учебная работа № 2060. Математическая логика и теория алгоритмов

Содержание.

1. Постановка задачи.

2. Построение модели.

3. Описание алгоритма

4. Доказательство правильности алгоритма

5. Блоксхема алгоритма

6. Описание переменных и программа

7. Расчёт вычислительной сложности

8. Тестирование

9. Список литературы

Постановка задачи.

Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.

Построение модели.

Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть kпозицией (для k = 0, 1,…,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем «дерево позиций»: его корнем будет единственная 0позиция, а из каждой kпозиции выходит n стрелок вверх в (k+1)позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.

Дерево позиций для n = 2

Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те nпозиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет «обходить дерево» и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какойто kпозиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.

Точнее, назовем kпозицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.

Описание алгоритма.

Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.

Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:

вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)

вправо (перейти в соседнюю справа вершину)

вниз (спуститься вниз на один уровень)

вверх_налево

вправо

вниз

и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые «есть_сверху», «есть_справа», «есть_снизу» (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда «вправо» позволяет перейти лишь к «родному брату», но не к «двоюродному».

Будем считать, что у Робота есть команда «обработать» и что его задача обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие «есть_сверху» ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.

Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие «обработаны все листья левее Робота», а через (ОЛН) условие «обработаны все листья левее и над Роботом».

Нам понадобится такая процедура:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}

begin

{инвариант: ОЛ}

while есть_сверху do begin

вверх_налево

end

{ОЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, листья не обработаны

надо: Робот в корне, листья обработаны

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}

вправо;

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

end;

end;

{ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}

Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу утверждения о результате ее выполнения):

(1) {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}

(2) {ОЛ} вверх_налево {ОЛ}

(3) {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}

(4) {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}

Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).

Решение. Пусть x некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:

а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);

б) свернуть налево с пути в x (y левее x);

в) пройти через x (y над x);

г) свернуть направо с пути в x (y правее x);

В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:

(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;

(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.

Вот как будет выглядеть программа:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}

begin

{инвариант: ОНЛ}

while есть_сверху do begin

обработать

вверх_налево

end

{ОНЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОНЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано

надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОНЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}

вправо;

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

end;

end;

{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}

Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья попрежнему обрабатываются по разу:

Под «обработано ниже и левее» будем понимать «ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)». Под «обработано ниже, левее и над» будем понимать «ниже обработано по разу, левее и над полностью».

Программа будет такой:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}

begin

{инвариант: ОНЛ}

while есть_сверху do begin

обработать

вверх_налево

end

{ОНЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОНЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано

надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОНЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}

вправо;

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

обработать;

end;

end;

{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}

Доказательство правильности алгоритма.

Докажем , что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве).

Доказательство . Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие.

Блоксхема алгоритма.

Описание переменных и программа.

Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] координаты ферзя на iой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга).

program queens;

const n = …;

var k: 0..n;

c: array [1..n] of 1..n;

procedure begin_work; {начать работу}

begin

k := 0;

end;

function danger: boolean; {верхний ферзь под боем}

var b: boolean;

i: integer;

begin

if k <= 1 then begin

danger := false;

end else begin

b := false; i := 1;

{b <=> верхний ферзь под боем ферзей с номерами < i}

while i <> k do begin

b := b or (c[i]=c[k]) {вертикаль}

or (abs(c[i]c[k])=abs(ik)); {диагональ}

i := i+ 1;

end;

danger := b;

end;

end;

function is_up: boolean {есть_сверху}

begin

is_up := (k < n) and not danger;

end;

function is_right: boolean {есть_справа}

begin

is_right := (k > 0) and (c[k] < n);

end;

{возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]}

function is_down: boolean {есть_снизу}

begin

is_up := (k > 0);

end;

procedure up; {вверх_налево}

begin {k < n}

k := k + 1;

c [k] := 1;

end;

procedure right; {вправо}

begin {k > 0, c[k] < n}

c [k] := c [k] + 1;

end;

procedure down; {вниз}

begin {k > 0}

k := k 1;

end;

procedure work; {обработать}

var i: integer;

begin

if (k = n) and not danger then begin

for i := 1 to n do begin

write (‘<‘, i, ‘,’ , c[i], ‘> ‘);

end;

writeln;

end;

end;

procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать}

begin

while is_up do begin

up;

end

work;

end;

begin

begin_work;

UW;

while is_down do begin

if is_right then begin

right;

UW;

end else begin

down;

end;

end;

end.

Расчёт вычислительной сложности.

Емкостная сложность:

В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно 3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4.

С(n)=n+4

Временная сложность:

Если рассматривать обработку каждого листа, без проверки на пути к нему, то временная сложность T(n) = n0 +n1 +n2 +n3 +…+nn .

Но в случае, когда каждая вершина проверяется, временная сложность T(n) = o(n0 +n1 +n2 +n3 +…+nn ). И это тем вернее, чем больше n. Данный вывод получен на основе приведённых ниже статистических данных:

1 2 3 4 5 6 7
Общее колво листьев 2 7 40 341 3906 55987 960800
Колво вершин построенного дерева. 2 3 4 17 54 153 552
Время построения(сек) <0.01 <0.01 <0.01 <0.01 <0.01 <0.01 <0.01
8 9 10 11 12 13
Общее колво листьев
Колво вершин построенного дерева. 2057 8394 35539 166926 856189 4674890
Время построения(сек) <0.01 0.21 1.20 6.48 37.12 231.29

Тестирование.

Построенная по описанному алгоритму программа при различных n выдаёт следующие данные:

n=4

<1,2><2,4><3,1><4,3>

<1,3><2,1><3,4><4,2>

Т.е. количество расстановок равно 2. Ниже приведена таблица зависимости от n количества решений (R).

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
R= 1 0 0 2 10 4 40 92 352 724 2680 14200 73712

Cписок литературы.

1) Кузнецов О.П. АдельсонВельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

2) Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. – М.:Наука, 1984.

3) Основной алгоритм находился на BBS “Master of Univercity” в файле shen.rar в файловой области “Bardak” (тел. 432703; время работы 21.00 – 7.00; FTN адрес – 2:5090/58).

Учебная работа № 2060. Математическая логика и теория алгоритмов

Яндекс.Метрика