Учебная работа № 1951. Тригонометрия

Учебная работа № 1951. Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R несчётное множество.

Докво: метод от противного. Несчётность (0;1)

X1 =0,n11 n12 n13 …n1k … m1 Î{0,1,…,9}\{9,n11 }

X2 =0,n21 n22 n23 …n2k … m2 Î{0,1,…,9}\{9,n22 }

……………………… ………………………

Xk =0,nk1 nk2 nk3 …nkk … mk Î{0,1,…,9}\{9,nkk }

a=0,m1 m2 …mk … Þa¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R несчётное множество.

Теорема: Q Счётное множество.

Докть: Q+ счётное, т.к. Q=Q U{0}UQ+

Докво:

Q+ счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| xa|<e}

Последовательность {Xn } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e окрестность точки a.

Почти все это значит за исключением быть может конечного числа.

$n0 =n0 (e)ÎN: n>n0 Þ|xn a|<e a=limxn , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Докво: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, ab=e>0

$n0 =n0 (e/3):|xn a|<e/3 и|xn b|<e/3

e=ab=(axn )(bxn )

e=|(axn )(bxn )|£|(axn )|+|(bxn )|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limxn =a, при n®¥ конечный предел

Докть:$M>0:|xn |<M «n

Докво: limxn =a, при n®¥:»e>0 $n0 =n0 (e):ae<xn <a+e, при n>n0

Пусть e=1, тогда при n>n0 (1) будет выполняться a1<xn <a+1 или |xn a|<1

Тогда |xn |<|(xn a)+a|<|xn a|+|a|<|a|+1 «n>n0 (1)

P=max{|a1 |,|a2 |,…,|ano |}

M=max{P,|a|+1}Þ|xn |<M «n

3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :

Теорема 1. Пусть $limxn =x, при n®¥ конечный (1 последовательность)

$limyn =y, при n®¥ конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n xn <yn

Докво: e=yx>0

$n| =n| (e/3): |xn x|<e/3 «n>n|

$n|| =n|| (e/3): |yn y|<e/3 «n>n|

n0 =max{n| ,n|| }, n>n0

xe/3<xn <x+e/3 î

Учебная работа № 1951. Тригонометрия

Яндекс.Метрика