Учебная работа № 1951. Тригонометрия
Действительные числа:
Теорема: R несчётное множество.
Докво: метод от противного. Несчётность (0;1)
X1 =0,n11 n12 n13 …n1k … m1 Î{0,1,…,9}\{9,n11 }
X2 =0,n21 n22 n23 …n2k … m2 Î{0,1,…,9}\{9,n22 }
……………………… ………………………
Xk =0,nk1 nk2 nk3 …nkk … mk Î{0,1,…,9}\{9,nkk }
a=0,m1 m2 …mk … Þa¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk
aÏ(0;1) Противоречие.
0<a<1 Þ R несчётное множество.
Теорема: Q Счётное множество.
Докть: Q+ счётное, т.к. Q=Q U{0}UQ+
Докво:
Q+ счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных
множеств. Q Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные
. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ сч. мн.
Предел числовой последовательности:
Пусть aÎR, e>0 {x:| xa|<e}
Последовательность {Xn } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого
бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e окрестность точки a.
Почти все это значит за исключением быть может конечного числа.
$n0 =n0 (e)ÎN: n>n0 Þ|xn a|<e a=limxn , при n®¥
Свойства:
1. Единственность (Если предел есть, то только один)
Докво: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, ab=e>0
$n0 =n0 (e/3):|xn a|<e/3 и|xn b|<e/3
e=ab=(axn )(bxn )
e=|(axn )(bxn )|£|(axn )|+|(bxn )|£2e/3
e£2e/3 Противоречие.
2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)
Дано: $limxn =a, при n®¥ конечный предел
Докть:$M>0:|xn |<M «n
Докво: limxn =a, при n®¥:»e>0 $n0 =n0 (e):ae<xn <a+e, при n>n0
Пусть e=1, тогда при n>n0 (1) будет выполняться a1<xn <a+1 или |xn a|<1
Тогда |xn |<|(xn a)+a|<|xn a|+|a|<|a|+1 «n>n0 (1)
P=max{|a1 |,|a2 |,…,|ano |}
M=max{P,|a|+1}Þ|xn |<M «n
3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая
её подпоследовательность имеет тоже предел а)
Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :
Теорема 1. Пусть $limxn =x, при n®¥ конечный (1 последовательность)
$limyn =y, при n®¥ конечный (2 последовательность)
Если x<y, то для почти всех n xn <yn
Докво: e=yx>0
$n| =n| (e/3): |xn x|<e/3 «n>n|
$n|| =n|| (e/3): |yn y|<e/3 «n>n|
n0 =max{n| ,n|| }, n>n0
xe/3<xn <x+e/3 î