Учебная работа № 1951. Тригонометрия

Учебная работа № 1951. Тригонометрия

Действительные числа:

Теорема: R несчётное множество.

Докво: метод от противного. Несчётность (0;1)

X₁ =0,n₁₁ n₁₂ n₁₃ …n_1k … m₁ Î{0,1,…,9}\{9,n₁₁ }

X₂ =0,n₂₁ n₂₂ n₂₃ …n_2k … m₂ Î{0,1,…,9}\{9,n₂₂ }

……………………… ………………………

X_k =0,n_k1 n_k2 n_k3 …n_kk … m_k Î{0,1,…,9}\{9,n_kk }

a=0,m₁ m₂ …m_k … Þa¹x₁ a¹x₂ a¹x₃ …… a¹x_k

aÏ(0;1) Противоречие.

0<a<1 Þ R несчётное множество.

Теорема: Q Счётное множество.

Докть: Q⁺ счётное, т.к. Q=Q U{0}UQ⁺

Докво:

Q⁺ счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q Тоже, что и Q⁺ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| xa|<e}

Последовательность {X_n } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e окрестность точки a.

Почти все это значит за исключением быть может конечного числа.

$n₀ =n₀ (e)ÎN: n>n₀ Þ|x_n a|<e a=limx_n , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Докво: Метод от противного. a=limx_n , b=limx_n , при n®¥, a>b, ab=e>0

$n₀ =n₀ (e/3):|x_n a|<e/3 и|x_n b|<e/3

e=ab=(ax_n )(bx_n )

e=|(ax_n )(bx_n )|£|(ax_n )|+|(bx_n )|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limx_n =a, при n®¥ конечный предел

Докть:$M>0:|x_n |<M «n

Докво: limx_n =a, при n®¥:»e>0 $n₀ =n₀ (e):ae<x_n <a+e, при n>n₀

Пусть e=1, тогда при n>n₀ (1) будет выполняться a1<x_n <a+1 или |x_n a|<1

Тогда |x_n |<|(x_n a)+a|<|x_n a|+|a|<|a|+1 «n>n₀ (1)

P=max{|a₁ |,|a₂ |,…,|a_no |}

M=max{P,|a|+1}Þ|x_n |<M «n

3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :

Теорема 1. Пусть $limx_n =x, при n®¥ конечный (1 последовательность)

$limy_n =y, при n®¥ конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n x_n <y_n

Докво: e=yx>0

$n^| =n^| (e/3): |x_n x|<e/3 «n>n^|

$n^|| =n^|| (e/3): |y_n y|<e/3 «n>n^|

n₀ =max{n^| ,n^|| }, n>n₀

xe/3<x_n <x+e/3 î

Учебная работа № 1951. Тригонометрия