Учебная работа № 1652. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Реферат Выполнил: студент гр. МХТ02 Казаков Василий Васильевич
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова
Магнитогорск 2003
Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.
Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.
Пусть l означает удлинение пружины в данный момент, а lст —статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст +х, или llст =х.
Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодействующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр =сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.
Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст . Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим llст через х, получится уравнение в виде:
или, обозначив с/m через k2 ,
(1)
Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение
Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:
Если положить
то
График гармонических колебаний имеет вид:
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.
Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент
Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:
Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0 . Тогда
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u0 =0) амплитуда А=х0 , а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых изза потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.
Решение
К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха
или если положить
Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет корни
Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда
или, преобразовав, умножая и деля на
положим, что
тогда
График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:
Если заданы начальные условия:
и подставляем t = 0 в выражения для
Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим
откуда
Так как
то
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действиительно, амплитуда колебания
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным
Частота колебаний
Если сопротивление среды велико и
Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае
Легко заметить, что в обоих последних случаях при
Если заданы начальные условия
и, следовательно
В случае же, когда
Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна
Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
Полагая, как и прежде,
Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому
Производя вычисления, получаем
откуда М=0 и
определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущающей силой
Закон движения представляется общим решением
Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.
Если заданы начальные условия:
и подставим в выражения х и
Преобразуем её так:
возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда
Для нахождения a разделим обе части первого уравнения на соответствующие части второго; получим
откуда
при этом
Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция
или
Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что
Частное решение следует искать в форме
где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
откуда получаем
Общее решение в этом случае
Найдем
Из последних двух равенств находим
откуда
Перепишем общее решение так:
тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде.
Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний
Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда
Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.
Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения.
Решение
Как и выше, имеем
или положив
Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е.
где
Имеем:
Сравнивая коэффициенты, получаем систему
Так как
то
и мы находим частное решение
Преобразуем выражение
Обозначив
перепишем
Выражение
носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):
Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом
характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.
Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18)
Положив
при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение амплитуды равно
Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.
Решение (15) существует всегда, когда
В случае