Учебная работа № 1529. Исследование предельных процессов для числовых последовательностей с применением графических калькуляторов

Учебная работа № 1529. Исследование предельных процессов для числовых последовательностей с применением графических калькуляторов

В.В. Богун

Как известно, в вузах и иных учебных заведениях многие вычислительные задачи, в том числе и по математике, требующие большого количества проводимых расчетов, обычно выполняются студентами на персональных компьютерах, причем в специально отведенных дисплейных классах, оборудованных различными мультимедийными системами и персональными устройствами.

Однако для решения многих сложных вычислительных задач с использованием различных условий удобным и эффективным аналогом персонального компьютера является графический калькулятор.

Отметим некоторые особенности использования графического калькулятора:

1. Наличие большого числа встроенных функциональных возможностей, что приближает его к персональным компьютерам даже с установленными на них мощными системами компьютерной математики (MATHCAD, MATLAB, MATHEMATIKA и т.д.).

2. Возможность совместимости с персональным компьютером. Предусмотрено подключение калькуляторов к персональному компьютеру (хранение библиотек программ и данных с возможностью экспортаимпорта по взаимосвязанной цепи графический калькулятор персональный компьютер, распечатки листинга программ, снятие копий с экрана калькулятора, замена и обновление программного обеспечения через Интернет).

3. Меньшие по сравнению с персональным компьютером габариты (карманные размеры).

4. Длительное время работы от батарей, что обуславливает удобство эксплуатации в условиях отсутствия близкого доступа к силовой сети и необходимости длительной работы от автономных источников электропитания (в школе, университете, самолете и т.д.).

5. Заметно более низкая по сравнению с персональными компьютерами стоимость машинного времени.

6. Превосходство над компьютерами по мобильности и удобству пользования.

7. Низкая стоимость графических калькуляторов (100 200$) по сравнению с персональными компьютерами (от 500$ и выше).

8. Отсутствие вредного для здоровья человека излучения дисплея.

9. Абсолютная бесшумность в процессе работы.

10. По сравнению же с малогабаритными ноутбуками графические калькуляторы имеют еще более колоссальную вилку цен (ценовой знаменатель составляет не менее одного десятка), а также не менее впечатляющую разницу во времени работы от аккумуляторных батарей (в данном случае знаменатель составляет уже не менее двух десятков).

11. Возможность соединения как двух, так и объединения нескольких калькуляторов в локальную сеть (организация учебного процесса на основе графических калькуляторов представлена на интернетсайтах корпораций CASIO и Texas Instruments).

12. Возможность подключения графического калькулятора к проектору изображения с экрана калькулятора на больший экран, что весьма актуально для учебного класса в процессе обучения.

Примером одного из самых мощных графических калькуляторов в настоящее время является калькулятор CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS, приведенный на рис. 1.

Как было сказано выше, довольно скромные габариты графических калькуляторов и, как следствие, их дисплея являются серьезной проблемой для обучения работе на них, для решения которой фирмами изготовителями калькуляторов разработаны специальные проекционные комплекты для работы в классе (рис. 2), благодаря которым преподаватель, держа в руках калькулятор, может проецировать изображение с экрана калькулятора на большой экран.

В графическом калькуляторе имеется огромное количество встроенных математических функций (в частности, CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS имеет 1095 функций), однако стоит отметить, что для полноценного решения сложных математических задач, связанных с наглядным моделированием, необходимо использование стандартных функций калькулятора в различных комбинациях и сочетаниях. Для реализации подобных проектов в калькуляторе имеется режим программирования PRoGraM (PRGM).

Особенность работы в режиме программирования заключается в наличии возможности манипуляции всем набором стандартных функций, причем в качестве связующего звена используется язык, аналогичный Бейсику, только немного упрощенный с целью более простого написания программ и экономии памяти калькулятора.

Именно благодаря режиму программирования у студентов и у школьников, вопервых, появляется обширный простор для креативной деятельности с целью наглядного моделирования реальных процессов, а, вовторых, некоторые навыки программирования на примерах написания программ для решения отдельных математических или иных задач, причем написанные на калькуляторе программы должны иметь простой, удобный, а местами даже симпатичный интерфейс. Стоит отметить, что на сегодняшний день в России очень мало вузов всерьез занимается внедрением графических калькуляторов в учебный процесс, что обуславливается или полным отсутствием информации о данных калькуляторах, или отсутствием необходимости в заложенных в калькуляторах возможностях, или отсутствием соответствующих материальных и финансовых средств, или «все в одном».

Постановка задачи

В данной статье рассматривается одна из задач курса математического анализа, имеющая непосредственное отношение к предельным процессам, а именно, решение задачи о нахождении минимального номера N()ε по заданному ε > 0 в структуре определения предела последовательности. Наглядное выявление данных зависимостей позволяет глубже осознать понятие предельного процесса, осуществляя при этом комплексный блок математических действий.

Углубление содержания понятия предела числовой последовательности xn происходит за счет нахождения минимального номера N()ε, начиная с которого выполняется неравенство xn − A < ε . Следует отметить, что процедура нахождения N()ε трудоемкая и основана на аналитических действиях.

Именно данный повод послужил стимулом для написания удобной и простой в использовании и к тому же симпатичной программы под названием «NUMBERS» (в переводе с английского «ЧИСЛА»), с помощью которой возможны следующие действия:

1. Определение минимального номера N(ε) по заданным коэффициентам последовательности a0, a1, a2, b0, b1, b2 и ε.

Исходя из постановки задачи определения минимального номера N()ε по

заданному ε, начиная с которого выполняется неравенство:

рассмотрим функцию f (n ):

(экстраполируя f на положительную полуось R+)

От рассмотрения функции f(n)

перейдем к рассмотрению функции f (n ), так как график функции f()n отличается от графика функции f()n (в смысле выявления точек экстремума, точек несуществования производной) только появлением дополнительных угловых точек графика на оси абсцисс.

Как же ведет себя функция f(n)?

Вопервых, она может иметь точки раз

* * рыва n1* и n*2:

Если же D < 0, то f непрерывна на

R+

Вовторых, она имеет точки экстремума, для определения которых необходимо решить уравнение: f(nj = 0 и выявить характер критических точек.

От рассмотрения уравнения f (n ) = 0 перейдем к рассмотрению уравнения:

Вычислим критические точки n1 и n2 функции f(n): Если a1b2 − a2b1 ≠ 0, то, учитывая

получим: Если D≥0,то

Если D < 0, то действительных критических точек нет. Если же a2b1 − a1b2 = 0, то

Нахождение угловых точек осуществляется в результате анализа функции

Угловые точки означают пересечение графика данной функции с осью абсцисс, то есть точки, где график функции резко меняет направление, поскольку данная функция является зеркальным отображением функции f ()n j (то есть отрицательные области графика зеркально отображаются относительно оси абсцисс).

Исходя из числителя функции, которая является линейной, очевидно нали

чие либо одной такой точки, либо вовсе ее отсутствие.

Откуда

Итак, когда найдены B1 и B2 точки разрыва, и E1, E2 точки экстремума f()n и угловая точка G для функции

f ()n, определим интервал [nx;n0], на котором следует искать минимальный N()ε:

nx =max{B1,B2,E1,E2,G},

n0 теоретически найденный номер аналитическим методом.

Теперь непосредственно рассмотрим вычислительные процедуры для нахождения N()ε, то есть три численных метода, которые применялись для вычисления минимального номера N(ε) при разработке программы «NUMBERS».

Метод золотого сечения

Золотое сечение, открытое Евклидом, состоит в разбиении интервала [а; b] точкой x на две части таким образом, чтобы отношение длины всего интервала к большей части было равно отношению большей части к меньшей:

Золотое сечение производят две точки:

где

(в качестве точки x будем

брать точку х1).

Алгоритм метода золотого сечения для интервала []nx;n0 J следующий:

1. Вычислить значение x.

2. Вычислить значение f()x.

3. Если f(x)< ε, то для дальнейшего деления оставляют интервал [nx;x].

4. Если f(x)≥ ε, то для дальнейшего деления оставляют интервал [x;n0].

Процесс деления продолжают до тех пор, пока длина интервала неопределенности не станет равной 1, то есть точки nx и n0 станут соседними. Искомым N(ε) будет номер n0.

При написании программы использованы стандартные функции: int получение целой части числа, frac получение дробной части числа.

Метод Фибоначчи

Как известно, числа Фибоначчи определяются соотношениями:

Используя числа Fn, строим nточечный последовательный метод, который принято называть методом Фибоначчи. Как и метод золотого сечения, метод Фибоначчи состоит в задании на интервале [a;b] точки х1 или симметричной ей точки х2:

В качестве x точки разбиения интервала будем брать точку хь Алгоритм метода Фибоначчи совпадает с алгоритмом метода золотого сечения. Единственный недостаток метода Фибоначчи в том, что нужно заранее задать количество проходов.

Интересно заметить, что

то есть при достаточно больших n (больше 10) точки разбиения методом Фибоначчи и золотого сечения практически совпадают. Это означает, что в данном случае метод Фибоначчи и метод золотого сечения по своей эффективности одинаковы, что и было подтверждено практическими испытаниями.

Метод дихотомии (бисекции)

Метод дихотомии состоит в разбиении интервала [a;b] точкой x пополам. Алгоритм метода дихотомии аналогичен алгоритму метода золотого сечения. Метод дихотомии является менее эффективным в данном случае, чем методы золотого сечения и Фибоначчи.

Описание лабораторной работы

Лабораторная работа по нахождению минимального номера N()ε может быть разделена на три этапа: I этап «Творческий поиск»

Студентам индивидуальноаналитическим методом оценок предлагается найти номер n0, начиная с которого выполняется xn − A < ε (например, ε = 0,05). Ввиду индивидуальности задания и различия способов оценки неравенства пути поиска решения проблемы могут быть весьма различными. IIэтап «Соревнование»

Данный этап подразумевает отыскание более точного значения номера n0 с аналогичными условиями выполнения. Студенты разделяются на m групп по 3 4 человека, находят оптимальный общий метод оценки, благодаря чему вносится элемент соревнования, основанный на нахождении каждой из групп более точной оценки.

Преподаватель фиксирует найденные в группах номера nk (k = 1, 2, ….. , m) и оценивает правильность и эффективность оценочных процедур. /// этап «Нахождение минимального номера N()ε»

Данный этап является заключительным, поскольку именно здесь студенты получают возможность вычислить минимальный номер N(ε), начиная с которого выполняется неравенство

Предлагаются два возможных пути решения данной задачи: Последовательное снижение по номерам вниз до тех пор, пока выполняется

< ε (что является трудоемким процессом и неэффективным);

Использование одного из численных методов (золотого сечения, Фибоначчи или метод дихотомии (бисекции));

Использование метода случайного поиска.

Ниже представлено описание соответствующей программы для нахождения N(ε) при ε = 0,05 и n0 =10000 для последовательности

Учебная работа № 1529. Исследование предельных процессов для числовых последовательностей с применением графических калькуляторов