(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1835. Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников
Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ
Рисунок 1. Центроид треугольника
Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядногеометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).
Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.
Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиусвекторы точек (и обычные векторы) жирным курсивом (например A, G, BC, b).
1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиусвектор G центроида через радиусвекторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов точки О.
По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,
G=(A+B+C)/3 (1)
Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.
2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиусвектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен
H = A+B+C (2)
Рисунок 2. Ортоцентр треугольника
В самом деле, векторы A+B и HC (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(HC).
По этой же причине B+C = m(HA).
После почленного вычитания этих равенств получаем:
AC = (l m)H lC + mA или
(1 m)A + (l 1)C + (m l)H = 0
и при этом сумма коэффициентов
(1 m) + (l 1) + (m l) = 0.
Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:
либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда
(1 m) = (l 1) = (m l) = 0.