Учебная работа № 1835. Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1835. Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

.

Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядногеометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиусвекторы точек (и обычные векторы) жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиусвектор G центроида через радиусвекторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

G=(A+B+C)/3 (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиусвектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

H = A+B+C (2)

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и HC (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(HC).

По этой же причине B+C = m(HA).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

AC = (l m)H lC + mA или

(1 m)A + (l 1)C + (m l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 m) + (l 1) + (m l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 m) = (l 1) = (m l) = 0.

Учебная работа № 1835. Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников