Учебная работа № 1730. Пределы

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1730. Пределы

Предел.

Число А назся пределом последоватти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0 , такое что при всех n>N0 будет выполнся нерво |Xn A|<E. limn ® ¥ Xn =A. –E<XnA<E => AE<Xn<A+E.

Число А явлся пределом последти Xn, если для любой Еокрестности (.)А сущет конкретное число N0 , для кот. любые точки >N0 попадают в Еокрестность (.)А.

Свва последти, имеющей предел:

1.если последть имеет предел, то он единственный.

Докво:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |ab|=|aXn+Xnb|. Из lim Xn=a (n®¥) => » E/2 $ N1 «n>N1 |aXn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => » E/2 $ N2 «n>N2 |Xnи|<E/2 N0 =max(N1 ;N2 ), n>N0 . |ab|=|aXn+Xnb|£|aXn|+|Xnb|<E/2+E/2=E => |ab|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Докво:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xna|<E, aE<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N3 , aE<Yn<a+E. 3. N0 =max(N1 ,N2 ,N3 ). При всех n>N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>aE => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) назся ограниченной в данной облти изменения аргумента Х, если сущет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой облти, будет выполнся нерво |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущет, то f(x) назся неограниченной в данной облти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn назся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). «E>0, N0 , n>N0 , |Xn|<E.

Свойства б.м. величин :

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Докво:из Xn – б.м. => » E/2 $N1 , n>N1 |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>» E/2 $N2 , n>N2 |Yn|<E/2, N0 =max(N1 ,N2 ), N>N0 ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E=>lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Докво:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => » E/K $N0 n>N0 |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Докво:Из lim Xn=a (n®¥) => «E $N0 n>N0 |Xna|<E

Xna=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если «M>0 $N0 , n>N0 , |Xn|>M => M<Xn<M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>»M $N1 , n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => «M $ N2 , n>N2 |Yn|>M

N0 =max(N1 , N2 ) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2 >M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0 , n>N0 |Xn|>M =>n>N0 .

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Докво:lim Xn=a => Xn=a+an ; lim Yn=b => Yn=b+bn ;

Xn ± Yn = (a + an ) ± (b + bn ) = (a ± b) + (an ± bn ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Докво:Xn/Yn – a/b = (a+an )/(b+bn ) – a/b = (ab+an b–ab–abn )/b(b+bn ) =(ban abn )/b(b+bn )=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы фии непрерывного аргумента.

Число А назся пределом фии y=f(x) при х®x0 , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущет такое число d>0, что при «x будет выпол |xx0 |<d, будет выполняться нерво |f(x) – A|<E или «x выпол x0 d<x<x+d=> AE<f(x)<A+E.

Lim x ® x0 f(x)=A

Фия y=f(x)назся бесконечно большой при x ® x0 если для «М>0 сколь угодно большого $d>0, что «x |xx0 |<d будет выполняться нерво |f(x)|>M, «x x0 d<x<x0 +d, M>f(x)>M.

Lim f(x)= ¥ (x ® x0 ).

Число А назся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, «x |x|>K |f(x)A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окрть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.

Sтреуг МОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

Sсект МОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

Sтреуг СОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx ® 0 (tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.limx ® 0 (arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt ® 0 t/sint=1;

3. limx ® 0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b lima x ® 0 (sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn ® ¥ (1+1/n)n =?

Бином Ньютона: (a+b)n =an +nan1 b+(n(n1)an2 b2 )/2!+… +(n(n1)(n2)(n3)an4 b4 )/4!+…+bn .

(1+1/n)n =1+n1/n+n(n1)/2!n2 +n(n1)(n2)/3!n3 +…+1/nn = =2+1/2!(11/n)+1/3!(11/n)(12/n)+1/4!(11/n)(12/n)(13/n)+…+1/nn ={последть возрастающая}< 2+0.5(11/n) +1/22 (11/n)(12/n)+1/23 (11/n)(12/n)(13/n)+1/2n < 2+0.5+1/22 +1/23 +…+1/2n =2+0.5(11/2n )/(10.5)=2+11/2n =31/2n <3.

2£(1+1/n)n <3 => $ limn ® ¥ (1+1/n)n =e.

Следствия :

1.limx ® + ¥ (1+1/x)x =e. Докво: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x ³(1/x+1)x ³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1 ³(1+1/x)x ³(1+1/(n+1))n limn ® ¥ (1+1/n)n (1+1/n)=e*1=e,· limn ® ¥ (1+1/(n+1))n+1 *1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx ® + ¥ (1+1/x)x =e.

Непрерывность.

фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0 , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0 ).limf(x)=f(x0 )

Условия:

1. f(x) – опред фия; 2. $limx ® x00 f(x) $limx ® x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx ® x0 f(x)=limx ® x0+ f(x);

4. limx ® x0 ± f(x)=f(x0 ).

Если Х0 тка разрыва и выполн услие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн услие 3, то разрыв устран.

Если Х0 тка разрыва и не вып услие 2, то Х0 – 2род.

Свва непрерывности в точке:

1.Если фун f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке х0 , то сумма (разность) y(х)=f1 (x)±f2 (x), произведение у(х)=f1 (x)*f2 (x), а также отношение этих фун у(х)=f1 (x)/f2 (x), есть непрерывная фун в точке х0 .

Докво (суммы): По определению получ limх ® х0 f1 (x)=f1 (x0 ) и limх ® х0 f2 (x)=f2 (x0 ) на основании свва1 можем написать: limх ® х0 у(х)=limх ® х0 [f1 (x)+f2 (x) ]=

=limх ® х0 f1 (x)+limх ® х0 f2 (x)=f1 (x0 )+f2 (x0 )=у(х0 ). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0 , а фун y=f(z) непрерывна в соотй точке z0 =j(х0 ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0 .

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Фия назся непрерывной на промке (a;b) , если она непрерывн в кажд тке этого промка.

Свойства (small) :

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим значия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном промке есть хотя бы одна тка в кот фия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0 )=0.

Свва непрерывности на заданном промежутке (full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соотю f(x1 )³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2 , что значения фун в этой точке будут удовл соотю

f(x2 )£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x0 ; x0 +Dx ÎX => Dy=Df(x0 )=f(x0 +Dx)f(x0 ), Dy/Dx=(f(x0 +Dx)f(x0 ))/Dx.

Если $ limDx ®0 Dy/Dx, то этот предел назся производн фии в тке Х­0 . · Если f(x) имеет производ в кажд тке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim ®0 (f(x0 +Dx)f(x0 ))/Dx= =f/ (х)=df(x)/dx=dy/dx=y| (x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэфту касательной к грку фун f(x) в точке М (х0 ; f(x0 )).

Если тка М будет приближся к тке М0 (при Dх®0), то секущая приближся к касат.

y| (x0 )=limD х ® 0 (f(x0 +Dx)f(x0 ))/ /Dx=limD х ® 0 Dy/Dx=limD х ® 0 tga==lima ® a 0 tga=tga0 .

L: yf(x0 )=f\ (x0 )(xx0 )

Nl =yf(x0 )=(xx0 )/f\ (x0 ).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y| =U| (x)+ V| (x) . Докво: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y| =limD x ® 0 Dy/Dx = limD x ® 0 Du/Dx+ limD x ® 0 Dv/Dx=U| (x)+V/ (x).

2. y=uv, y| =u| v+uv| . Докво: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y| = limD x ® 0 Dy/Dx= limD x ® 0 Duv/Dx + limD x ® 0 Dvu/Dx + limD x ® 0 DuDv/Dx={ limD x ® 0 Du=0, т.к фия диффма и непрерывна}=u| v+uv| .

3. y=u/v, y| =(u| vuv| )/v2 . Докво: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)u/v=(vDuuDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx…

4. y=ax , y| =ax ln a. Докво: ln y=x ln a, y| /y=ln a, y| =yln a y| =ax ln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что сооте F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подставе в F(x;y)=0 сооте обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/ =0/ }

Формула Лейбница.

y( n ) =(uv)(n) =(u)(n) v+nu(n1) v| +([n(n1)]/[1*2])*n(n2) v|| +…+uv(n)

Дифференцирование фии в точке.

Фия y=f(x) назся дифференцируемой в тке Х0 , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limD x ® 0 O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема : y=f(x) диффма в тке Х0 т и тт, когда она в этой тке имеет конечную производную A=f\ (x0 ).

Необход услие диффти: если фия диффма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f\ (x0 )=limDx ®0 Dy/Dx= limDx ®0 [(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx ®0 (A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f\ (x0 )Dx+O(Dx) => limDx ®0 Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат услие диффти: если фия в заданной тке имеет кон производ, то она диффма. Дано: $f\ (x0 ) – число, f\ (x0 )=limDx ®0 Dy/Dx => Dy/Dx=f\ (x0 )+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\ (x0 )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f\ (x0 )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx ®0 O(Dx)/Dx=limDx ®0 a(Dx)=0. Дифференциал фии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач фии в некот тке: Dy=f(x0 +Dx)f(x0 ) =>f(x0 +Dx)=f(x0 )+Dy»f(x0 )+df(x0 )=f(x0 )+f\ (x0 )dx, dx=Dx.

Учебная работа № 1730. Пределы