Учебная работа № 1703. Уравнения математической физики

Учебная работа № 1703. Уравнения математической физики

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

(1)

Пусть выбран любой, где , и его норма:

дифференциальный оператор.

запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через или будем обозначать границу области.

Определение.

(n1)мерное многообразие S в принадлежит классу (), если

для и такие, что:

, где

однозначно проектируется на плоскость , при этом:

D проекция данного множества на плоскость , k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .

, аналогично .

множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: .

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

.

матрица квадратичной формы.

n вещественных собственных значений матрицы A

количество положительных собственных значений.

количество отрицательных собственных значений.

количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если = n или = n , то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

.

2.Если = n 1, = 1 , или = 1, = n 1 , то уравнение гиперболическое .

Ex: волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

Для волнового уравнения:

3.Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: .

4.Если , то параболическое уравнение.

Ex: , и уравнение теплопроводности.

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

Уравнение (1) в новой системе координат:

(1′)

Матрица Якоби:

.

В результате:

Ex:

гиперболическое уравнение.

канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

Уравнение теплопроводности

Уравнение Пуассона

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

(6)

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(6)(7.1) первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) третья краевая задача.

Волновое уравнение.

(8)

(9)

(10)

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(8) (9) (10) (11.1) смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На задаются начальные условия.

На боковой поверхности краевые задачи.

Параболическое уравнение.

(12)

(13)

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(12) (13) (14.1) первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) на границе задана температура;

(14.2) задан тепловой поток;

(14.3) задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Собственные значения (5) (6) вещественны, имеют конечную кратность.

изолир. .

ортонормированный базис в .

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции разложены по базису

тогда и u(t,x) можно разложить по базису :

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

(7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

(8)

(9)

(7) (8) (9) задача.

Решим однородное уравнение для (7):

общее решение однородного уравнения (7)

(10)

В результате: частное решение неоднородного уравнения (7).

общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

т.е. .

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

собственные векторы и собственные значения.

(6)

общее решение однородного уравнения (6)

частное решение неоднородного уравнения (6)

общее решение уравнения (6).

Учебная работа № 1703. Уравнения математической физики