(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1683. Математика и проблема адекватного описания реальности
В. Я. Фридман
Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому и они не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собой. [1]
Ф. Энгельс
Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе идти другим путем, совершенно в стороне от действительности? [2]
Д. Гильберт
Размышления над проблемами, нарастающими трудностями и все более усложняющимся языком современной теоретической физики неминуемо приводят к подозрению, что не все благополучно в самом фундаменте современного «точного» естествознания. А таким фундаментом, безусловно, является сложившийся веками математический формализм, служащий для описания реальности. Для теоретической физики он является той аксиоматической базой, с которой должны сообразовываться все ее построения, но которая сама, как супруга Цезаря, «выше подозрений».
На фоне грандиозных успехов, достигнутых за последние полтора столетия «точным» естествознанием на основе сложившегося до него и надстраивавшегося параллельно с ним математического аппарата, из рассмотрения совершенно выпал вопрос о том, насколько язык традиционной математики на самом деле, в своих принципиальных основах, адекватен структуре мира, которую он призван и берется описывать.
Но, прежде всего, правомерна ли сама постановка вопроса? Не развивается ли математика по своим собственным, автономным, имманентным законам?
Если математика является «чистым порождением ума» (своеобразной «игрой в бисер»), то непонятно, почему мир обязан с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в «аминокислотном» человеческом сознании присущих миру (или возможных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопрос об «адекватности», «изоморфности» математических структур структурам реальности.
«Основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического» справедливо замечает Н. Бурбаки [3]. Любопытно сопоставить две крайние точки зрения по этому вопросу:
Ш. Эрмит: «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума: я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики и зоологи» [4].
Г. Кантор: «Математика совершенно независима в своем развитии и ее понятия связаны только требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введенным ранее посредством точных определений» [5].
Н. Бурбаки стремится сохранить нейтралитет в этом споре, оставляя вопрос открытым: «То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого…» ([3], с. 258). И далее: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм математических структур, и… оказывается (хотя и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» ([3], с. 258 259). Это перекликается со взглядами Е. Вигнера, согласно которым «непостижимая эффективность математики в естественных науках» есть «нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению» ([6], с. 183; другой перевод см. [7]).
Между тем, при более пристальном рассмотрении неадекватность на первый взгляд столь совершенного математического языка, при всей его «непостижимой эффективности», выступает достаточно отчетливо. Поэтому, прежде чем пытаться строить «новую физику», о чем уже почти четверть века идут непрекращающиеся разговоры (и споры), возможно, надо навести порядок в ее математическом фундаменте, а далее «дело пойдет само собой» (а споры также «сами собой» утихнут).
Но речь идет не только о физике, «старой» или «новой». Речь идет об устранении некоторых «неадекватностей» в самой математике, которая, как ни кощунственно звучит такое заявление, несмотря на свою «невероятную эффективность» оказывается построенной на некоторых ложных предпосылках. Как показано в настоящей работе, переформулирование некоторых ее фундаментальных исходных положений «с лицом, обращенным к реальности», приводит к логически безупречной схеме, сразу ставящей «все на свои места», объясняющей многие загадки (в том числе и упомянутую выше) и открывающей новые перспективы развития не только перед теоретической физикой, но и перед «чистой» математикой.
Здесь нельзя не отметить, что по различным поводам неоднократно высказывались сомнения в том, насколько традиционная математика, несмотря на всю свою «непостижимую эффективность», адекватно описывает реальность. «Неясно, в какой мере объект исследования в математике адекватно соответствует реальности» прямо, без обиняков, заявляют А. Колмогоров и А. Драгалин ([8], с. 114). А, касаясь некоторых трудностей теоретикомножественного формализма, они высказываются еще более определенно: «…Такого рода следствия вызывают подозрение, что ряд фактов, полученных в рамках определенной математической теории, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого отношения к физической реальности и является результатом слишком далеко зашедшей экстраполяции!» ([8], с. 112).
Так возникает кажущаяся поначалу безнадежной задача «адекватизации» математики, решению которой и посвящен наш труд (см. сноску на с. 61); естественно, что для этого потребовалось, отрешившись от устоявшихся догм, взглянуть на давно известные вещи свежим и непредубежденным взглядом.
Предлагаемая теория, ведущая к пересмотру некоторых устоявшихся и казавшихся доселе незыблемыми представлений в математике и теоретической физике, естественно, не может не опираться на некоторые общеметодологические, философские соображения, тем более, что, как правильно заметил В. Вернадский, «граница между философией и наукой по объектам их исследования исчезает, когда дело идет об общих вопросах естествознания» [9]. Постараемся сформулировать их в насколько это в человеческих силах краткой, но вместе с тем достаточно отчетливой форме, не ставя себе при этом, впрочем, задачу строгого определения используемых понятий, а полагаясь на подразумеваемую общность основных интуитивных представлений у всех, размышляющих об «устройстве» мира и способах его описания. Итак, «о гипотезах, лежащих в основании…».
1. Онтологический аспект
«Мир» на чрезвычайно высоком уровне абстракции мыслится как некая система, существующая, вообще говоря, вне и независимо от отражающего ее «сознания», которое само образует лишь одну из подсистем Мира (специфическую аминокислотную подсистему, способную как часть отражать целое). При этом система «Мир» предполагается наделенной некой структурой, обладающей следующими фундаментальными свойствами.
а) Имеет смысл говорить о состояниях системы как о различных возможных реализациях ее структуры. По отношению к «интенсивным» структурным характеристикам системы ее «состояния» выступают в некотором смысле как «экстенсивные», или «фазовые», характеристики системы и ее элементов.
б) При всех возможных состояниях системы и переходах между ними сохраняется свойство консервативности Мира в смысле сохранения основных структурообразующих отношений, обеспечивающих, что Мир остается Миром, а не превращается в нечто другое, принципиально поиному организованное (концепция «Невзрывающегося мира») [10].
в) Это предполагает наличие определенных ограничений, наложенных самой структурой Мира на его возможные состояния. (Можно предположить, что эти ограничения должны иметь весьма общий, скорее всего, теоретикогрупповой характер и быть связаны с абстрактными условиями симметрии и т.п.) В Мире не все возможно, а существуют правила «внутреннего распорядка», которые и принято называть Законами Природы. С другой стороны, это приводит к существованию в Мире (и его подсистемах) неких инвариантов, которые и гарантируют сохранение Мира как Мира при всех его возможных внутрисистемных преобразованиях («автоморфизмах» Мира).
г) Консервативность Мира означает консервативность его структуры, а не состояний. В пределах упомянутых ограничений «элементы Мира» (что бы под этим ни подразумевалось!), а, стало быть, и различные его подсистемы и Мир в целом, способны принимать чрезвычайно богатый спектр различных состояний.
Иначе говоря, в Мире чтото может происходить и происходит (Мир как «нежесткая», динамическая система со «степенями свободы», «Незамороженный мир»), в нем возможны и осуществляются различные преобразования, сохраняющие, однако, нерушимым Мир как целое. Все эти преобразования сводятся к изменению состояний его элементов (под воздействием других элементов системы или «спонтанных», природа которых в значительной степени неясна), и этим исчерпывается спектр существующих в системе возможностей. При этом, повидимому, действует принцип: «Все, что возможно (т.е. совместимо с наложенными ограничениями), гденибудь и когданибудь происходит» [11 13].
д) Законы природы, обусловленные структурными ограничениями системы, носят, таким образом, по существу, не предписывающий, а, скорее, лишь запрещающий характер, чем и объясняется наблюдаемое в различных подсистемах Мира многообразие форм.
«Субатомный зоопарк» [14] насчитывает к настоящему времени (включая «резонансы») свыше 200 «элементарных» (в кавычках, разумеется) частиц [14, 15], а таблица Менделеева 105 «элементов» (при бесчисленном количестве изотопов). Число биологических видов на нашей планете, по оценкам [16], превышает 2 o 106 (не считая бесчисленных подвидов) и даже число «естественных» языков в пределах вида Homo Sapiens превышает 2000 [ 17], а по некоторым данным достигает 5000 [18] (не считая бесчисленных диалектов). Все это, видимо, различные реализации возможных состояний, совместимые с наложенными ограничениями.
е) Миру как системе присущи свойства замкнутости и полноты: все возможные и реализуемые в нем состояния и преобразования подчиняются структурным ограничениям системы и не выводят элементы Мира за ее пределы; иначе говоря, в «естественном» мире нет места для «сверхъестественных» явлений.
2. Эпистемологический аспект
Поскольку в Мире как системе, вообще говоря, «все связано со всем», всякая задача описания состояний Мира и их преобразований, т.е. перехода его элементов из одних допустимых состояний в другие по существу и принципиально является задачей многих (в принципе, бесконечно большого числа) «тел» задачей всеобщего взаимодействия. Однако при мысленном вычленении (и «фиксировании» в сознании) какогото «элемента» (или подсистемы) Мира и сосредоточении на нем «внимания», т.е. при «рассмотрении» какогото «элемента», мы можем свести задачу к «проблеме двух тел», производя дихотомию Мира на «рассматриваемый элемент» (вычлененный фрагмент Мира) и «весь остальной мир». Тогда любое «преобразование» рассматриваемого элемента (т.е. изменение его состояния) может быть описано уже не как следствие всеобщего взаимодействия, а как результат воздействия остального мира на данный элемент. (Что при этом происходит с «остальным миром» нас в рамках такого рассмотрения не интересует!) По условиям задачи рассмотрения (и с учетом «порядков малости» входящих в рассмотрение величин) часто можно пренебречь воздействием всех элементов, кроме одного, и тогда «остальной мир» (в рамках данного «рассмотрения»!) редуцируется до одного элемента и мы говорим о воздействии одного элемента на другой.
Особую проблему составляет вопрос о возможности и причинах спонтанных, т.е. не обусловленных воздействием «остального мира», изменений элементов Мира. По сути дела, это «вечная» проблема «детерминизм индетерминизм». Здесь укажем лишь, что на современном уровне знаний мы в состоянии формально описывать такие изменения при помощи вероятностных операторов, опираясь, по существу, на «Принцип Мэрфи» и на лейбницевский «Закон достаточного основания». Симметричность возможностей по отношению к некоторой данной ситуации должна, повидимому, приводить к «равновероятности» их осуществления, а численное значение «вероятности» неравновероятных событий должно быть както связано с мерой асимметрии возможностей. Первичным, видимо, является не понятие «вероятности», а понятие «равновероятности», как некой симметрии, мерой отклонения от которой и служит «вероятность.»
Другим камнем преткновения является вопрос о происхождении необратимостей. Здесь укажем лишь на правдоподобность гипотезы, что необратимости являются существенно «макро»феноменом. На какомто элементарном (фундаментальном) «микро»уровне все преобразования, повидимому, должны быть обратимы, и таковы должны быть и описывающие их элементарные операции. Необратимость же, повидимому, является характеристикой коллективных процессов, которые вместе с тем в какомто смысле локальны. На самом высоком «мега»уровне, повидимому, снова царствует обратимость, обеспечивающая неизменност