Учебная работа № 1657. Интеграл Лебега

Учебная работа № 1657. Интеграл Лебега

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Курсовая работа на тему:

«Интеграл Лебега»

Выполнила: студентка 3мфА

Сенченко Ю. В.

Проверила: Панфилова Т. Л.

Вологда

2000

Содержание.

1. .

1.1.Простые функции.

1.2.ИнтегралЛебега от простых функций.

2. Определение интнгралаЛебега.

3. Основные свойства интеграла.

4. Предельный переход под знаком интеграла.

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

6. Примеры.

7. Литература.

1.

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на аб­страктном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, вве­денное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируют­ся не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет рас­пространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно оди­наково для функций, заданных на любых пространствах с ме­рой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой инте­грал Римана вообще не имеет смысла.

Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная sаддитивная мера m, определенная на sалгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А ÌХ будут предполагаться измеримыми, а функции f( x) определенными для x Î Х и измеримыми.

1.1. Простые функции.

Определение 1. Функция f( x), определенная на некото­ром пространстве Х с заданной на нем мерой, называется про­стой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Функция f( x), принимающая не более чем счет­ное число различных значений

y₁ , y₂ , … , y_n , … ,

измерима в том и только том случае, если все множества

A_n ={x : ¦ (x)=y_n }

измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества{ y_n }, а вся­кое одноточечное множество является борелевским. Достаточ­ность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f¹ ( B) любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств A_n , т. е. измерим.

Использование простых функций в построении интеграла Ле­бега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f( x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство. Для доказательства необходимости рас­смотрим произвольную измеримую функцию f( x) и положим f_n (х)= m/п, если т/п f( x) <( m+1)/ n (здесь т целые, а п целые положительные). Ясно, что функции f_n ( x) простые; при п ® они равномерно сходятся к f( x), так как çf( x) f_n ( x) ç£1/ n.

1.2.Интеграл Лебега для простых функций.

Мы введем поня­тие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Пусть f— некоторая простая функция, принимающая зна­чения

y₁ , y₂ , … , y_n , … ; y_i y_j при ij ,

и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.

Естественно определить интеграл от функции f по множе­ству А равенством

=, где A_n ={ x: xA, f( x)= y_n }, (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему опре­делению (в котором по понятным причинам заранее постули­руется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегри­руемой или суммируемой (по мере m) на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все у _n различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида c_k m(B_k ) и не предпо­лагая, что все c_k различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма . Пусть А= , B_i B_j = Æ при ij и пусть на каждом множестве B_k функция f принимает только одно значе­ние c _k ; тогда

= , (2) причем функция f интегрируема на А в том и только том слу­чае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство . Легко видеть, что каждое множество

А _n ={х: х ÎА, f( x)= y_n }

является объединением тех B_k , для которых с _k = y_n . Поэтому

= = .

Так как мера неотрицательна, то

= = ,

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций

A) =+,

причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения f_i на множествах F_i Ì A, ag — значения g_j на множествах G_j ÌA, так что

J₁ = = , (3)

J₂ = = . (4)

Тогда в силу леммы

J= = ; (5)

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

J=J₁ +J₂ .

Б) Для любого постоянного k

= k ,

причем из существования интеграла в правой части следует су­ществование интеграла в левой части. (Проверяется непосред­ственно.)

В) Ограниченная на множестве А простая функция f инте­грируема на А, причем, если ½f( x) ½£ M на A , то

½½£M _m (A).

(Проверяется непосредственно.)

2. Определение интеграла Лебега

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и разви­тое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматри­вается конечная функция f( x), заданная на сегменте [ a, b] ; этот сегмент разбивается на части точками

x₀ = a < x₁ < x₂ < ¼ < x_n = b

в каждой части [ x_k , x_{k +1} ] выбирается точка x _k и составляется риманова сумма

s = .

Если сумма s при стремлении к нулю числа

l = max(x_k+1 – x_k ).

стремится к конечному пределу I , не зависящему ни от способа дробления [ a, b] , ни от выбора точек x _k , то этот предел I назы­вается интегралом Римана функции f( x) и обозначается символом

.

Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут

( R).

Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми ( R). Для интегрируемости (R) функции f( x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегри­руема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируе­мые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Ди­рихле , которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

1, если x рационально,

y( x) =

0, если x иррационально.

Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма s обращается в 0, если все точки x иррациональны и s = 1, если все рациональны.

Таким образом, риманово определение интеграла страдает суще­ственными недостатками даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана s , мы дробим сегмент [ a, b] на мелкие части [ x₀ , x₁ ], [ x₁ , x₂ ], ¼ ,[ x_{n 1} , x_n ] (назовем их через e₀ , e₁ , ¼ , e_{n 1} ), в каждой части e_k берем точку x _k и, составив сумму

s = ,

требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек x _k в множествах е _k . Иначе говоря, каждая точка

Учебная работа № 1657. Интеграл Лебега