Учебная работа № 1615. Поверхности второго порядка
Содержание.
· Понятие поверхности второго порядка.
1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
· Классификация поверхностей второго порядка.
1. Классификация центральных поверхностей.
1°. Эллипсоид.
2°. Однополостный гиперболоид.
3°. Двуполостный гиперболоид.
4°. Конус второго порядка.
2. Классификация нецентральных поверхностей.
1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.
2°. Параболический цилиндр
•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.
1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.
1°. Однополостный гиперболоид.
2°. Двуполостный гиперболоид.
3. Параболоиды.
1°. Эллиптический параболоид.
2°. Гиперболический параболоид.
4 . Конус и цилиндры второго порядка.
1°. Конус второго порядка.
2°. Эллиптический цилиндр.
3°. Гиперболический цилиндр.
4°. Параболический цилиндр.
Список использованной литературы.
§ 1. Понятие поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11 х2 + а 22 у2 +a 33 z2 +2a 12 xy +2 a 23 уz + 2a 13 xz + 2а 14 x + 2а 24 у+2а 34 z +а 44 = 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а 22 , a 33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка .
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
Справедливо следующее утверждение.
являются инвариантами уравнения (1) поверхности второгопорядка относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид
a11 х2 + а 22 у2 +a 33 z2 + а 44 = 0 (2)
Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a11 • а 22 • a 33 , то коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 удовлетворяют условию :
![]() |
Возможны следующие случаи:
1°. Коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 одного знака, а коэффициента 44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 , а 44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .
Если знак коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 противоположен знаку коэффициента а 44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а 2 , b2 , с2 . После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида .
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.
2°. Из четырех коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 , а 44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом .
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0,а 22 >0, a 33 <0,а 44 <0. Тогда числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а 2 , b2 , с2 . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида .
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его главными осями.
3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 , а 44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0,а 22 <0, a 33 >0,а 44 <0. Тогда :
Обозначим эти числасоответственно через a2 , b2 , с2 . Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида .
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.
4° . Коэффициент а 44 равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .
Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а 44 =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.
Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,
a11 > o, а 22 > 0,a 33 <0. Обозначим
соответственно через а2 , b2 , с2 . Тогда уравнение (2) можно записать в виде
Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка .
2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.
Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI 3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид
a´11 х ´ 2 + а ´22 у ´ 2 +a´ 33 z´ 2 + 2а ´ 14 x´ + 2а ´ 24 у ´ +2а ´ 34 z´ +а ´ 44 = 0 (7)
для системы координат Ox´y´z´
Так как инвариант I 3 =0 и его значение, вычисленное для уравнения (7), равно
a´11 • а ´22 • a´ 33 , то один или два из коэффициентов a´11 , а ´22 , a´ 33 равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.