(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1600. Задачи Лоповок
СЕДЬМОЙ КЛАСС
Измерение отрезков
1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.
2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13.
3. Пять прямых расположены на плоскости так что имеется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?
4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Известно, что АВ ==3см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части длиной по 1 см.
5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.
6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).
7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки автобуса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.
8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км, ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.
9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, Аз, Аз, А^, … так, что А\Ач== I» АгАа == 2, АзА^ == 3, …. Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.
10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.
Измерение углов
11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?
12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?
13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?
14. Можно ли без помощи транспортира или других угломерных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?
15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.
16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?
17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?
18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.
19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.
20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:
/ ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, / ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС.
21. В одной полуплоскости с границей АВ построены неперекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?
Смежные и вертикальные углы
22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.
23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.
24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказаться вертикальными?
25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?
26. Можно ли градусные меры двух смежных углов записать только нечетными цифрами; только четными цифрами?
27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?
28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как определить градусную меру этого угла?
Перпендикуляр к прямой
29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?
30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?
31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении прямых СИ И &1?
32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости построены лучи ОС и 0В так, что / АОС = / ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.
Первый признак равенства треугольников
33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.
34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. Докажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.
35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпендикулярны ли I и ЕР
36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.
37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.
Второй признак равенства треугольников
38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ 1_ АВ и СЕ А АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7
39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?
40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?
41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.
42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?
Равнобедренный треугольник
43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Биссектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, что она лежит на биссектрисе угла В.
44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2n равных частей (n — натуральное число, большее 1).
45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.
46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == В N.
47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = С D = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == / ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?
48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпендикуляр ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.
49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^ САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я» и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ.
50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делив пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. Докажите.
51. Д АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, причем углы ВАВ, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника?
Третий признак равенства треугольников
52. Медианы АВ и ВО треугольника АВС, у которого АС = ВС, продолжены так, что ВЕ = АВ и ОК = ВО. Докажите, что /_ АКС = /_ ВЕС.
53. Докажите, что треугольники равны, если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника
54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.
55. Докажите, что треугольник, у которого равны, две высоты, равнобедренный.
66. Равны ли два треугольника, если основание и проведенная к нему высота ;и медиана одного треугольника соответственно равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника?
57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам другого остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите.
Периметр треугольника
58. На отрезке АВ длиной 38 см .между А и В отмечены точки С\, Са,Сз, …,Сп и построены .равносторонние треугольники с основаниями АС>\, СгСа, СзСа,,…, С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис. 10),?
59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.
60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что
периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в ^ раза. Во сколько раз >он больше Ь 4 с?
Простейшие построения
61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.
62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух
данных углов.
63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную
прямую с помощью шаблона острого угла.
64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.
65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.
Построения с помощью циркуля и линейки
66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.
67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании я сумме боковых сторон.
68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.
69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .’сторон.
70. Ввв ‘отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?
71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить
отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.
72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.
73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности боковых сторон.
74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, если обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?
75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.
76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.
Признаки параллельности прямых
77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?
78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.
79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Параллельны ли прямые АВ и ЕР?
80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треугольники АВС и ОСВ?
81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите / СКЕ.
82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?
83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной прямой в данной точке?
84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?
85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?
86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.
Сумма углов треугольника
87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе
угла А.
88. По данным рисунка 12 определите