Учебная работа № 1543. Шпоры по математическому анализу

Учебная работа № 1543. Шпоры по математическому анализу

1. Производные и дифференциалы высших порядков

Оприе: производной nго порядка (n³2) функции у= f (х) называется производная (первого порядка) от производной (n1)го порядка.

Найдя 1ю производную можно определить 2ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Оприе: Дифференциалом nго порядка функции у= f (х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n1)го порядка. (обозначается dⁿ y )По определению dⁿ y= d(dⁿ¹ y) . Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿ y=f⁽ⁿ⁾ (х)dxⁿ , в предположении, что nая производная f⁽ⁿ⁾ (х) сущет, поэтому понятно, что ne. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Теорема Ролля : Если функция у= f (х) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах промежуткаее значения совпадают f(a)=f(b) , то внутри промежутка найдется такая точка x=c, что f'(c)=0

Докво: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f (х)= f(a)=f(b) , то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х₁ и х₂ на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m =М , следовательно, функция f (х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х₁ , т.е. a< х₁ <b , тогда х₁ является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'( х₁ ) . Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'( х₁ ) =0, следовательно,

х₁ можно принять за точку с .

2. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

Оприе: Функция у= f (х) имеет в точке x₀ локальный максимум , если сущет окрестность (х₀ d , х₀ + d ), для всех точек х которой выполняется неравенство f (х) £ f (х₀ ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f (х) ³ f (х₀ ).

Теорема Ферма : Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'( х₀ ) равна нулю.

Докво: Проведем его для случая максимума в точке х₀ . Пусть (х₀ d , х₀ + d ) та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'( х₀ ) А это означает, что правая производная f_пр ‘( х₀ ) и левая производная f_л ‘( х₀ ) равны между собой: f_пр ‘( х₀ )= f_л ‘( х₀ )= f'( х₀ ). Таким образом, с одной стороны, f'( х₀ )≤0, с другой стороны, f'( х₀ )≥0, что возможно лишь, когда f'( х₀ )=0.

4. Теорема Коши .

Теорема Коши: Пусть функции у= f (х) и у= g (х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g‘( х ) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)

Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)g(a) ≠ 0 ,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g‘( х ) обратилась бы в нуль в какойнибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g‘( х )≠0 . Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка cÎ (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)

5. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Если функция у= f (х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале(a,b) то существует такая точка c Î (a,b), что f(b)f(a)=f'(c)(ba) .

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)¹0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1, получим, (2)

Где точка сточка, существующая в силу теоремы Коши в интервале (a,b). Умножив обе части на ba, придем к формуле (2).

6. Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка сÎ(x,a), что выполняется равенство(5)

Так как f(a)=g(a)=0. При х®а будет с®а, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при х®а, получим

Или, что то же самое (4).

7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Оприе: Функция у= f (х) имеет в точке x₀ локальный максимум , если сущет окрестность (х₀ d , х₀ + d ), для всех точек х которой выполняется неравенство f (х) £ f (х₀ ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f (х) ³ f (х₀ ).

Теорема Ферма : Если функция у= f (х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'( х₀ ) равна нулю.

Докво: Проведем его для случая максимума в точке х₀ . Пусть (х₀ d , х₀ + d ) та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'( х₀ ) А это означает, что правая производная f_пр ‘( х₀ ) и левая производная f_л ‘( х₀ ) равны между собой: f_пр ‘( х₀ )= f_л ‘( х₀ )= f'( х₀ ). Таким образом, с одной стороны, f'( х₀ )≤0, с другой стороны, f'( х₀ )≥0, что возможно лишь, когда f'( х₀ )=0.

Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f’ (х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f (х) возрастает (т.е. f’ (х) >0), а после точки х₀ убывает (т.е. f’ (х) <0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f’ (х) >0 при х< х₀ и f’ (х) <0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f’ (х) <0 при х< х₀ и f’ (х) >0 при х >

Учебная работа № 1543. Шпоры по математическому анализу