Учебная работа № 1520. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Контрольные рефераты

Учебная работа № 1520. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономикоматематических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ


Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi yi составляет часть продукции отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукцииотрасли, которая потребляетсяотраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1

№ отрас. потребление итого
на внутре
производ.
потребление
( е хik )
конечный
продукт
( уi )
вал овый
выпуск
( хi )
1 2 k n
1 х11 х12 х1k х1n е х1k y1 х1
2 х21 х22 х2k х2n е х2k y2 х2
i хi1 хi2 хik хin е хik yi хi
n хn1 хn2 хnk хnn е хnk yn хn
итого
произв.
затраты в kю
отрасль
е хil е хi2 е хnl е хin  

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

х1 ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1
х2 ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 333 ( 1 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_
у = ( у1 , у2 , … , yn ) , 333 ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – векторпланом :

_
x = ( x1 , x2 , … , xn ). 333 ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения векторплан х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

33333 xik
aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
33333xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций отрасли, используемые отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x’ik 333 xik
––– = ––– = aik = const 333 ( 4 )
x’k 333 xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , 333 ( 5 )

т.е. затраты отрасли в отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

333 a11 a12 … a1k … a1n
333 a21 a22 … a2k … a2n
A= ………………….
333 ai1 ai2 … aik … ain
333 an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x1 ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1
x2 ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )
……………………………………
xn ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

3 _ 33 _ 33 _
Е·х А·х = У , или окончательно
33333333 _ 3 _
( Е А )·3х = У , ( 6′ )

где Е – единичная матрица nго порядка и

33333 1a11 a12 … a1n
E A= a21 1a22 … a2n
333333 …………………
333333 an1 an2 … 1ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и определять необходимый для его производства векторплан Х = ( х1 , х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Табл. 2

  № отрас
№ отрас  
Потребление

1 2
Итого затрат Конечный продукт Валовый продукт
1
  0.2
1  
  0.4
2  
260 240 500
2
 
  0.55
160  
  0.1
160  
315 85 400
Итого затрат в kю отрасль …
375 200
  575
575  
   

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275 40 а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1 500 400 500 400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

х1 0.2х1 0.4х2 = у1
х2 0.55х1 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании векторплана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6′ ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 0.8 А= , то Е А =
0.6 0.9 0.6 0.1
и уравнение ( 6′ ) запишется в виде
0.1 0.8 х1 у1
0.6 0.1 х2 у2

или в развернутой форме

0.1х1 0.8х2 = у1 ( a )
0.6х1 + 0.1х2 = у2

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

0.5х1 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6′ ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е А ) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е А )·х’ = У’, где векторплан х’ и ассортиментный вектор У’ определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У’>0. Таким образом, уравнение ( 6′ ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6′ ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е А )1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6» ) в виде

_ _
х = S·У ( 7 )

Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E A )1, то по этой формуле может быть определен векторплан х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn 33333( 8 )
………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.

Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1й отрасли, т.е.

1
_ 0
У1 = :

0

Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

1 S11
_ 0 S21 _
х = S­ : = : = S1
0 Sn1

задавшись ассортиментным вектором,

0
_ 1
У2 = 0
:
0

получим

0 S12
_ 1 S22 _
х = S­ : = : = S2
0 Sn2

Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта отрасли, составит

0 S1k
_ : S2k _
х = S­ 1 = : Sk55555 ( 9 )
: Snk
0

Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта отрасли, необходимо в 1й отрасли выпустить х1=S1k, во 2й х2=S2k и т.д., в отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица kго продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1й, 2й и т.д., отраслей идущей на изготовление указанной единицы kго продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция отрасли поступала бы только в отрасль в количестве aik, то производство отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1й

Учебная работа № 1520. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели