Учебная работа № 1498. Шпора 2 по мат анализу

(6 оценок, среднее: 4,67 из 5)

Загрузка...

Учебная работа № 1498. Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества D R ⁿ и I R .

Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I , то говорят, что задана функция n переменных у= f (x ₁ , …, x _n ). Множество D называется областью определения функции D (у)= D , множество I называется множеством значений функции I (у)= I .

Если зафиксировать любые n 1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x ₂ =с ₂ , x ₃ =с ₃ , …, х _n =c _n ; y = f (x ₁ , c ₂ , …, c _n ) функция одной переменной х ₁ .

Пример. функция двух переменных,

функция трех переменных.

Пусть имеется n +1 переменная x ₁ , x ₂ , …, x _n , y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x ₁ , x ₂ , …, x_n соответствует единственное значение переменной y . Тогда говорят, что задана функция f от n переменных . Число y, поставленное в соответствие набору x ₁ , x ₂ , …, x_n называется значением функции f в точке (x ₁ , x ₂ , …, x_n ), что записывается в виде формулы y = f (x ₁ ,x ₂ , …, x_n ) или y =y (x ₁ ,x ₂ , …, x_n ).

Переменные x ₁ , x ₂ , …, x_n являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀ =j(t₀ ). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀ .

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀ . <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)j(t₀ )|<d может быть записано как |xx₀ |<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в nмерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

R .

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f ‘(х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f (х) возрастает (т.е. f ‘(х) >0), а после точки х₀ убывает (т.е. f ‘(х) <0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f ‘(х) >0 при х< х₀ и f ‘(х) <0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f ‘(х) <0 при х< х₀ и f ‘(х) >0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀ , в том числе и в самой точке х₀ , существует первая производная f ‘(х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f »(х₀ ). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f »(х₀ )=0. Посмотрим теперь на f »(х) как на первую производную от функции

Допустим, что f »(х₀ ) >0. Это означает, что f ‘(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f ‘(х₀ )=0, поэтому возрастание f ‘(х₀ )<0, при х < х₀ и f ‘(х₀ )>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f »(х₀ ) <0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f ‘(х₀ )=0, а f »(х₀ ) <0, то функция y = f ( x ) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f ‘(х₀ )=0, а f »(х₀ ) >0, то функция y = f ( x ) имеет локальный минимум в точке х₀ .

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой функции , определяемой уравнением . В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частная производная по непрерывны в , . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция , задаваемая уравнением , так, что в этой окрестности .

Неявная функция многих переменных . Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции . При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: .

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество фий f(x)+c, где Сconst называется непоределенным интегралом от фии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf (x ) dx )¢ =f (x );

2) òf ¢ (x ) dx = f (x )+C ;

3) d òf (x ) dx= f (x )dx ;

4) òd f (x )=f (x )+C ;

5) òkf (x )dx=k òf (x ) dx ;

6) ò(f (x )+g (x ))dx= ò f (x ) dx +òg (x ) dx ;

7)Если òf (x ) dx = F (x ) + C , то òf (ax+b ) dx = (a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные и связаны соотношением , где обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену .

В частности, используя замену (или ), получаем формулу

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

(),

где и произвольные постоянные, .

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u ®

Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

с неопределенным коэф. A₁ …n

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B₁ C₁ …

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 … хn , где

а = х0 < х1< х2 < …. < хn1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi1, i=1, 2, …, n

Диаметром разбиения называется

D = длина максимального из отрезков разбиения.