Учебная работа № 1490. Структура сходящихся последовательностей
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn } называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn }.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn } называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn a|<e.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn }. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn }, получим xn =а+an , xn =b+bn , где an и bn – элементы бесконечно малых последовательностей {an } и {bn }.
Вычитая данные соотношения, найдем an bn =ba. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {an bn } имеют одно и то же постоянное значение ba, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {an } равны одному и тому же числу с, то с=0) ba=0, т.е. b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn } сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn =а+an ,
где an элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {an } ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an |£А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn }. Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, 1, 1, 1, … ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn a} и {xn+1 a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn a) – (xn+1 a)}={xn – xn+1 } была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn – xn+1 | = 2 для любого номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn } и {yn } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn } и {yn }.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn } и {yn }. Тогда:
xn =а+an , yn =b+bn ,
где {an } и {bn ) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn ) (а + b) =an +bn .
Таким образом, последовательность {(хn + yn ) (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn } сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn } и {yn } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn } и {yn }.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn } и {yn }.Тогда:
xn =а+an , yn =b+bn ,
где {an } и {bn ) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn yn ) (а b) =an bn .
Таким образом, последовательность {(хn yn ) (а b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn yn } сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn } и {yn } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn } и {yn }.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn } и {yn }, то xn =а+an , yn =b+bn и xn ×yn =a×b+a×bn +b×an +an ×bn . Следовательно,
xn ×yn а×b=a×bn +b×an +an ×bn .
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn +b×an +a