Учебная работа № 1470. Шпаргалки по математическому анализу для 1го семестра в МАИ

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (6 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...

Учебная работа № 1470. Шпаргалки по математическому анализу для 1го семестра в МАИ

Экзаменационная программа

По курсу математического анализа для студентов групп 03112 116.

1. Понятие nмерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.

8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении знака непрерырывной функции.

10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11. Теорема о непрерывности сложной функции.

12. Теорема о непрерывности обратной функции.

13. Непрерывность элементарных функций.

14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15. Свойства сходящихся рядов.

16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17. Признаки Даламбера и Коши.

18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и

. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20. Ряды с комплексными членами.

21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24. Производная сложной функции.

25. Производная обратной функции.

26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28. Параметрическое дифференцирование.

29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32. Теорема Коши.

33. Правило Лопиталя.

34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36. Признак монотонности функции.

37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38. Выпуклость и точки перегиба.

39. Асимптоты.

40. Первообразная и ее свойства.

41. Неопределенный интеграл и его свойства.

42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44. Интегрирование иррациональностей.

45. Интегрирование тригонометрических выражений.

46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47. Свойства определенного интеграла,

48. Теорема о среднем.

49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50. Формула Ньютона Лейбница

51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52. Площадь плоской фигуры.

53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.

#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мнве функциями p(x,y) называется nмерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в просве R »}Множ xR» назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R» назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R» если любая окрестность этой точки содержит точки множва Х Множво содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое прво.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мнва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след сввам 1 (x,y)=0 x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) x,yX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) x,y,z X в этом случае функция метрикой число р(х,у) расст м/у точками х и у

#2Если каждому значению перем величины х принадл мнву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется фей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мнву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Фия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной фией или композицией фий f и u {}Фия заданная урнием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная фия от х {}пусть на множ Т заданы 2 фии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред фия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) фия f назыв параметрич заданной фиями (t) (t) {}обр фия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ 1)

#3Пусть Х какое либо мнво всякое отобр f: N®X называется послед элтов Х элемент f(n) nый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если «e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нерво /ХnА/<e нерво эквивал след.: Аee обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нерво означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (Аe;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Докво} предп обратное lim(n®Ґ)xn=a lim(n®Ґ)xn=b aЮ для e1=ra>0 $n1 при n>n1 /xna/<e1=ra Ю ar Ю xnn1 для e2=br>0 $ n2 такое что при n>n2 /xnb/<e2=br Ю rb xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какоелибо эпсилон, вне эпсилонокрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Докво т.к {xn} ббп => «e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {докво} пусть {xn} бмп а {уn} огранич => $M>0 такое что /уn/» n пусть e>0 тогда тк {xn} бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN<(a+E) & n”: n>n” => (aE)N. При n>max{n0,n’,n”} (aE)NbNcN<(a+E), т.е. n>max{n0,n’,n”}=>bN(aE,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Докво} (от противного): Пусть х>у => по определению предела n0’: n>n0’ |хNх| n0”: n>n0” |yNy|n>max{n0’, n0”}: |хNх|<|ху|/2 & |уNу|<|ху|/2, т.е. получаем 2 интервала (уЕ,у+Е) & (хЕ,х+Е)], причем (уЕ,у+Е)(хЕ,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(хЕ,х+Е) & уN(уЕ,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN противоречие с условием.

#5 {О предела фции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом фции при xa если E>0 =(E)>0 : x 0<|xa|< вып. |f(x)A|xaf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 | x 0<|xa|< |f(x)| limxaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|xa|< вып f(x)>E {O limxaf(x)=} Если E>0 =(E)>0 : x 0<|xa|< вып f(x)<E {O limxf(x)=A} Если >0 =()>0 : x |x|> вып |f(x)A|< {O limxf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом фции f(x) ghb xa+0(0) называется число А / >0 =()>0 при x a()) |f(x)A|< A=limxa+0(0)f(x){Теорема о единственности предела} Если фция f(x) имеет limxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного 1) =()>0 | при x 0<|xa|< |f(x)A|< f(x)U(A;) 2) 2=2()>0 | при x 0<|xa|<2 |f(x)B|< f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2),


Учебная работа № 1470. Шпаргалки по математическому анализу для 1го семестра в МАИ