Учебная работа № 1443. Шпаргалки по высшей математике (1 курс)

Учебная работа № 1443. Шпаргалки по высшей математике (1 курс)

Основные понятия мат анализа. Матем наука о простых формах и количеств отношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина d ринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз областью изменения этой переменной . Окрестность х0 наз производный интервал (a;b) содержащий эту . If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть f(х)=у . способы задания f . 1)таблица 2)графический совокупность M(х;у) не лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением наз символическое обознач совокупности известных матем операций d производятся в определ последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана аналитически . F f(х) наз периодической if $t: «х f(х+t)=f(x). Четная, нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, сдействительное число; 2)степенная у=х^а, ад.ч. 3)показательная у= f^х a>xa≠1 4)логорифмическая у=logaxa>xa≠1, 5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции. (Коши) число а наз lim f f(х) в х0б if для » Е>0 $ б>0, такое что для всех х0 х э Ω, х ≠ 0 и удовлетвор |хх0|<б верно |f(х)А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if » последовательности хn (хnÎW, хn­­­­­¹х0), сходящейся к · х0, соответствующая последовательность значений f сходится к числу А. Оба определения эквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот же предел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)в при ха, так что х<а, то lim f(х)=в (ха0). Опр. If lim спр or сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ lim f приемного отделения ха не требуется чтобы f была опр в а. БМВ . F α(х) наз бмс ха if α(х)=0 if для «Е $ б: |xα|<б |α(х)|<Е. свва 1) if α(х) и β(х)бм f при хх0, то их Σ α(х)+β(х) и произвед=бм f при хх0 2)f(х)ограниченая f α(х)*β(х)=бм f при хх0 3)α(х)бм при хх0, f(х) имеет в х0 конечный предел, lim f(х)=А, то f α(х)*f(х) и α(х)/f(х)=бм при хх0 4)if α(х) бм при ха но не обращ в 0, то у=1/α(х)=∞. Основные Т о пределах. 1) lim Σ конечного числа f= Σ их lim, if они сущ. Д . (ха) α1,α2бм lim u1=a1, limu2=a2, u=u1+u2, u1=a1+α1, u2=a2+α2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +α1+α2) =a1+a2 2) lim произведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие: const множитель можно выносить за знак lim. 3) lim частного= частному lim, if знаменатель ≠ 0. Д .(ха) lim (u(x)/v(x))=(limu(x))/(;imv(x), limv(x)≠0, Limu=a1,limv=a2≠0;u=a1+α, v=a2+β;α,βбм;u/v=(a1+α)/(a2+β)=a1/a2+(a1+α)/(a2+β)–a1/a2= a1/a2 + (α*a2β*a1)/(a2(a2+β)), u/v=a1/a2+γ, lim(u/v)=a1/a2 4) if для соответствующих значений 3 fu(x), z(x), v(x) выполняется неравенство u≤z≤v и lim u(x)=limv(x)=blimz(x)=bД . ub≤zb≤vb»E$ б1 |xa|<б1|u(x)b|<E, $ б2 |xa|<б2|v(x)b|<E б=min(б1,б2), E<ub<E –E<ub≤zb≤vb<E, E<vb<E –E<zb<E |zb|<E5) ify≥0, limy=bb≥0 Д . b<0 |yb|≥|b| E=|b|, $ < |yb|<E=|b| пришли к противоречию. Замечание: if у>, то Т тоже выполняется в той же формулировке (b≥0). 6) ifv≥u в неd окрестности а lim v≥limuД . vu≥alim (vu) ≥0limvlimu≥0limv≥limuСравнение бмв . (xa)О . iflim(α/β)≠0, lim(β/α)≠0, то α и β наз бмв одного порядка (zbx^2 и 2x^2). O iflimβ/α=0, то βбм высокого порядка чем α.О бмв β наз бм n^го порядка относительно α, if lim β/αⁿ =A≠0. О. if lim β/α=1, то α,β –эквивалентные бмв. Т. If α, βэкивалентные бмв, то αβбмв более высшего порядка, чем α и β. Д . lim ((αβ)/α)=lim(1β/α)=11=0 1 Зам lim. S_ΔMOA <S_{сект MCA} <S_ΔCOA ; S_ΔMOA =½OA*MB= ½ sinx; S_{сект MCA} = ½ x*1= ½ x; S_{Δ COA} = ½ OA*AC= ½ tgx; sinx<x<tgx |:x; 1<x/sinx<1/cosx; 1>sinx/x>cosx; sinx/x1; sin(x)/x=sinx/x; cos (x)=cosx2 зам lim. Т . переменная величина (1+ 1/n)ⁿ , при n∞ имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (11/n)ⁿ =1+n*1/n+n(n1)/2n² +n(n1)(n1)/(2*3*n³ )…=1+1+½(11/n){<1}+ 1/(1*2*3) (11/n{<1})(12/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(11/n{<1})*(12/n{<1})…(1(n1)/n). При переходе от n к n+1 добавляется 1 слагаемое, каждое слагаемое возрастает. Это выражение является последовательностью. Полагаем, что она ограничена. {2<}(1+1/n)ⁿ <1+1+1/ (1*2)+1/(1*2*3){1/2² }+…+(1/(1*2*3…n)<1+2+½+1/2² +1/2^{n 1} =1+(2(½ )^{n 1} )<3 и огран последов. Непрерывность f. у=f(х) х=х0+Δх. Δf=f(х)f(х0)=f(х0+Δх)f(х0); f(х)=f(х0)+ Δf. О. f f(х) наз непрерывной в х0, if она опр в этой и в неd ее окрестности и lim Δf=0(Δх0).( Δх0) lim (f(х0+ Δх)f(х0))=0, lim f(х0+ Δх)=f(х0). хх0 lim f(х)=f(х0) lim f в =значению в этой . Zb у=х² докажем, что f непрерывна в х0. Δf=(х0+ Δх)² х0² =х0² +2х0Δх+(Δх)² х0² =2х0Δх+(Δх)² . lim Δf{x0}=l (2×0Δx+(Δx)² )=0. Т. If f f1 и f2 непрерывны в х0, то их Σ тоже непрерывна в х0. Д . φ(х)=f1(х)+f2(х). {xx0}lim φ(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Limf1(x)+limf2(x)=f1(x0)+f2(x0)=φ(x0). Следствие: Т справедлива для » конечного числа слагаемых. Т1 . произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2. частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3. if f u=f(х)непрерывна в х0 и f f(u) непрерывна в u0=φ(х), то сложная f f(φ(u))непрерывна в х0. Т. Всякая элементарная f непрерывна в каждой в d она определена (sin,log…). О. if f f(х) непрерывна в каждой неd интервала (a;b), то говорят что она непрерывна на этом интервале. О. if f определена при х=а и lim f(х)=f(а) {xa+}, то говорят что f непрерывна в а справа, аналогично слева. О. if f(х) непрерывна в каждой интервала (a;b), в а непрерывна справа, f в в слева(а<в ), то говорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О. if в х0 не выполняется АО крайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или не существует lim f(х){xx0} or он ≠ значению f в , то говорят, что f разрывна в х0. х0 в э том случае разрыва f. Классификация разрыва. 1) if $ lim f(х), но f неопределенна в этой , либо нарушено условие lim f(х)≠f(x0){xx0}, тогда х0 наз устранимого разрыва 2) не$ lim f(х){xx0}, но $ lim справа и слева, limf(x){xx0+}≠limf(x){xx0}f имеет разрыв 1 рода.3)if хотя бы 1 lim не$ or =∞, то говорят, что f имеет разрыв 2 рода. Свойства непрерывной f. Т if f f(х) непрерывна на неd отрезке [а;в], то на этом отрезке найдется по крайней мере 1 х, такая, что значение f в этой будет удовлетворять соотношению: f(х1)≥f(х), где х» др отрезка. Значение f(х1) наз наибольшим значением f f(х) на [a;b]. Т. Пусть f f(х) непрерывна на [a;b] и на концах этого отр принимает значение разных знаков, тогда между а и в найдется по крайнем мере 1 с, такая что она будет =0. Т. Пусть f f(х) определена и непрерывна на [a;b], if на концах этого отрезка f принимает ≠ значении А и В (A<B), то для » числа μ «MA≤M≤B$c: f(c)=μ. Следствие: if f у=f(х) непрерывна на неd интервале, она принимает по крайней мере 1 раз «,заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями. Производная f. . Пусть f f=f(х) опред в неd внутренней интервала (а;в). Зададим аргументу х в х0 произвольное приращение Δх такое, что x0+ Δх также находится на (а;в). Тогда f у=f(х) получит приращение Δу=f(х0+Δх)f(х0), d, является f приращения аргумента Δх при фиксированном х0. О. lim Δу/Δх при Δх0 (if существует) наз производной f у=f(х) в х0 и обознач {Δx0}lim Δу/Δх=lim (f(х0+Δх)f(х0))/хΔ. Операция нах производной наз дифференцирование. Геометрический смысл производной. If М1М0 секущаязанять предельное значение. Прямая занимающая предельное положение наз касательной. Tgφ=Δf/Δxtgα={MnM0}limtgφ={Δx0}limΔf/Δx=f `(x). Значение произв в = tg < накл касательной к оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в х, if Δf предоставлена в виде Δf=АΔх+α(Δх)*Δх, где Ачисло, α(х)бмв при Δх0. Т. Дифференцируемость f в эквивалентно существованию производной {Δx0} lim Δf/Δx=lim (AΔx+α(Δx)Δx)/Δx=0(Δx)=lim (A+α(Δx))=A; Δf/Δx=f `(x)+α(Δx). Т. If дифференцируема в , то она непрерывна в этой . Д . f `(x)={Δx0}limΔf/Δx, Δf=f `(x)Δx+α(Δx)Δx, lim Δf=lim (f `(x)Δx{бмв}+α(Δx)Δx{бмв})=0 обратное неверно. Основные Т о производных. Т. Производная Σ конечного числа f = Σих произведений, if последние сществуют. Д. f(x)= u(x)+v(x), f(x+Δx)=f(x)+Δf, u(x+Δx)=u(x)+Δu; v(x+Δx)=v(x)+Δv; Δf=Δu+Δv; f(x+Δx)f(x)=u(x+Δx)+v(x+Δx)u(x)v(x); f `={Δx0} lim Δf/Δx=lim (Δu+Δv)/Δx=lim Δu/Δx+lim Δv/Δx=u`+v`. Т . If f=uvf `=u`v+v`u, ifu` и v` существуют. F(x+Δx)=u(x+Δx)v(x+Δx)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x)v(x)+ u(x)Δv+Δuv(x)+ΔuΔv; Δf=u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x); f `(x)={Δx0}lim (u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x))/Δx=lim (u(x)Δv)/Δx + limv(x)*Δu/Δx+limΔv*Δu/Δx=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т. f= v(x)*u/v≠0 f `=(u`(x)≠0 f `=(u`(x)v`(x))/v<sup>2</sup> . Δf=u(Δx+x)/v(x+Δx) – u(x)/v(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=(Δu+u(x))/(Δv+v(x)) – u(x)/v(x)=(v(x)Δuu(x)Δv))/((Δvv(x))v(x)). F `={Δx0}lim [(v(x)Δuu(x)Δv)/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=lim [v(x)*Δu/Δx – u(x)*Δv/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=(vu`uv`)/v² Дифференциал. F у=f(х) наз дифференцируемой в х0, if ее приращение Δу=f(х0+ Δх0)f(х0)в этой можно представить в виде Δу=А(х0)Δхα(Δх), где А(х0) не зависит от Δх и α(Δх) f от Δх, такая что α(Δх)/Δх0, при Δх0. приращение f состоит из 2 частей: А(х0)Δх – главная часть приращения, линейно зависимая от приращение Δх аргумента, и α(Δх)нелинейная f от аргумента Δх, d является бм высшего порядка малости по сравнению с Δх при Δх0, т.е. α(Δх)=0(Δх). Для того чтобы f f(х) была дифференцируемой в х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой , тогда А(х0)=f `(х0). Обозначается df(x0)=f `(x0)Δx. Дифференциал f у=f(х) обозначается dy. F`(x)=dy/dx, ory`=dy/dx. Производная и дифференциалы разл порядков . О. пусть f дифференцируемая на интервале (а;в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1 производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а;в), то ее производную наз 2 производной, или производной 2 порядка f f(х) и обозначается f «(x) orf⁽²⁾ (x), f_xx «(x), т.е. f «(x)=(f`(x))`. Производная nго порядка: f^(n)(x)=(f^(n1)(х))`, if на интервале (а;в) существует дифференцируемая функция f^(n1)(х). по определению полагают f⁽⁰⁾ (х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физ смысл: if s=s(t)закон прямолин движения маериальн , то s«(t) есть ускорение этой в момент времени t. Т. Ролля. If f f(х) непрерывна на отрезке [а;в] дифференцируется на интервале (а;в) и f(а)=f(в)=0, то внутри [а;в] $ с, в d производная=0.

Учебная работа № 1443. Шпаргалки по высшей математике (1 курс)