Учебная работа № 1419. Шпаргалка по геометрии и алгебре

Учебная работа № 1419. Шпаргалка по геометрии и алгебре

Т. Сумма смежных углов = 180°

Т. Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые назся параллельн. , если они лежат в 1й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.свво паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл. : 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то пересет и другую.

2. Если две прямые | | 3ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис)

ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2)

ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2х прямх секущей соответственные углы равны,прямые| |.

Докво Пусть (а) и (b) обрт к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2

Но Ð1=Ð3 (вертикальные)Ð3=Ð2.Но Ð2 и Ð3накрестлежщие.По Т 1 a | | b

Т3. Если при пересеч. 2х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |

Для ТТ 13 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3й

прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со

ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.

Перпедикулярные пре пересекся Ð90°.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.

3. две прямые ^ 3й параллельны.

4. Если прямая ^ 1й из | | прямых, то она ^ и другой.

Многоугольник ( n угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мнк можно вписать в окружность и описать около окружности. (R опис., r впис.)

R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке

центр впис. Круга.

4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке центр опис. круга.

5. Средняя линия | | и = ½ основания

H(опущ. на стор. a) = 2 √ p(pa)(pb)(pc)

a

M(опущ на стор a) = ½ √ 2b2+2c2 a2

B (‘’)= 2√ bcp(pa) / b+c

p полупериметр

a²=b²+c²2bx, хпроекция 1й из сторон

Признаки равенства Ñ : 2Ñ=, если = сотв.

1. 2 стороны и Ð между ними.

2. 2 Ð и сторона между ними.

3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1му из Ð

4. три стороны

5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.

Прямоугольный Ñ C =90 ° a²+b²=c²

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний Ñ H= √3 * a/2

S Ñ= ½ h a =½ a b sin C

Параллелограмм

d²+d`²=2a²+ 2b²

S =h a=a b sinA(между а и b)

= ½ d d` sinB (между d d`)

Трапеция S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh

Ромб S =a h =a²sinA= ½ d d`

Окружность L= pRn° / 180°,n°центрÐ

Т. Впис.Ð= ½ L , Lдуга,на ктрую опирÐ

S(cектора)= ½ R²a= pR²n° / 360°

Векторы.. Скалярное произведение

`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),

|`a| |`b| длина векторов

Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x«; y«}, заданных своими координатами, =

|`a| |`b| = x` × y` + x« × y«

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия (^)

3. Симм. Отнно плоскости (^)

4. Гомотетия (точки Х О Х« лежат на 1 прямой и расст. ОХ«=k OX, k>0 это гомотетия отнно О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение вокруг оси преобр. Пространства, когда:

все точки оси переходят сами в себя

любая точка АÏ оси р АА` так, что

А и А` Î a, a^р, ÐАОА` = j= const, О точка пересеч. a и р.

Результвт 2х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)(x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием расст. Между тчками изменся в k раз

К=1 движение.

Свва подобия.

1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)

2. (p) (p`); [p)[p`); aa`; ÐAÐA`

3. Не всякое подобие гомотетия

NB! S` = k² S«; V ` = k 3 V «

Плоскости.

Т. Если прямая, Ï к.л. плоскости a , | | к.л. прямой, Î a, то она | | a

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)

T . (Признак парал. 2х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b.

Т. Если 2 парал. Плоскти пересеч. 3й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоскть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2мя плоскостями, =.

Т. Признак ^ прямой и плсти. Если прямая, перекая плость, ^каждой из 2х перекся прямых, то прямая и плсть ^.

Т. 2 ^ к плсти | |.

Т. Если 1 из 2х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.

Т. Признак ^ 2х плостей. Если плсть проходит через ^ к др. псти, то он ^ этой лсти.

Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Дть: a ^ b

Докво. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) линейный Ð двугранного угла между a и b. Так как [a)^ b(a)^(b) (a)Ù(b)=90°a ^ b

Т. Если 2 плсти взаимно ^, то прямая

1й плсти ^ линии пересеч. плстей, ^ 2й плсти.

Т. О 3х ^ .. Для того, чтобы прямая, лежя в плсти,, была ^ наклонной, необхмо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн × a прямая призма

a боковое ребро , S пс S ^го сечения

V = S пс × а наклонная призма

V = Sбок. повсти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма параллелепипе д.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллелда = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.

Фигуры вращения

Цилиндр V=pR²H; S= 2pR (R+H)

Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pR²H

S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); Lобразующая

Сфера «оболочка» S= 4pR²

Шар М= 4/3 pR3

ARCSIN a

p/2£arcsin a £p/2 sin(arcsin a)=a

arcsin (a)= arcsin a

a	0	1/2	Ö2/2	Ö3/2	1
arcsin a	0	p/6	p/4	p/3	p/2

SIN X= A

x=(1)n arcsin a +pk

sin x=0	x=pk
sin x=1	x=p/2+2pk
sin x=1	x=p/2+2pk

ARCCOS a

0 £arccos a £p cos(arccos a)=a

arccos (a)=p arccos a

a	0	1/2	Ö2/2	Ö3/2	1
arccos a	p/2	p/3	p/4	p/6	0

COS X= A

x=± arccos a +2pk

cos x=0	x=p/2+pk
cos x=1	x=2pk
cos x=1	x=p+2pk

ARCTG a

p/2£arctg a £p/2 tg(arctg a)=a

arctg (a)= arctg a

a	0	Ö3/3	1	Ö3
tg a	0	p/6	p/4	p/3

TG X= A

x=± arctg a +pk

sina_* cosb=1/2[sin(ab)+sin(a+b)]

sina_* sinb=1/2[cos(ab)cos(a+b)]

cosa_* cosb=1/2[cos(ab)+cos(a+b)]

sina_* cosb=1/2[sin(ab)+sin(a+b)]

sina_* sinb=1/2[cos(ab)cos(a+b)]

cosa_* cosb=1/2[cos(ab)+cos(a+b)]

sina+sinb=2sin(a+b)/2 _* cos(ab)/2

sinasinb=2sin(ab)/2 _* cos(a+b)/2

cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(ab)/2

cosacosb=2sin(a+b)/2 * sin(ab)/2

(a+b)² =a² +2ab+b²

(ab)² =a² +2ab+b²

(a+b+c)² =a² +b² +c² +2ab+2ac+2bc

a² b² =(ab)(a+b)

(a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³

(ab)³ =a³ 3a² b+3ab² b³

a³ +b³ =(a+b)(a² ab+b² )

a³ b³ =(ab)(a² +ab+ b² )

0	p/6	p/4	p/3	p/2	p	2/3p	3/4p	5/6p	3/2p
	0	30°	45°	60°	90°	180	120°	135°	150°	270°
sin	0	1/2	Ö2/2	Ö3/2	1	0	Ö3/2	Ö2/2	1/2	1
cos	1	Ö3/2	Ö2/2	1/2	0	1	1/2	Ö2/2	Ö3/2	0
tg	0	1/Ö3	1	Ö3		0	Ö3	1	1/Ö3
ctg		Ö3	1	1/Ö3	0		1/Ö3	1	Ö3	0

sin² +cos² =1 sin=±Ö1cos² sin(a)=sina tg(a)=tga

tg•ctg=1 cos=±Ö1sin² cos(a)=cosa ctg(g)=ctga

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg² =1/cos² =sec²

sin² =(1cos)(1+cos) 1+ctg² =1/sin² =cosec² sin2a=2sina•cosa

cos² =(1sin)(1+sin) 1tg² /(1+tg² )=cos⁴ sin⁴ cos2a=cos² asin² a

cos/(1sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1tga

cos(a+b)=cosa•cosbsina•sinb sin3a=3sina4sin³ a

cos(ab)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos³ a3cosa

sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb

sin(ab)=sina•cosbcosa•sinb 1tga•tgb

2cos² a/2=1+cosa 2sin² a/2=1cosa

0	p/6	p/4	p/3	p/2	p	2/3p	3/4p	5/6p	3/2p
0	30°	45°	60°	90°	180	120°	135°	150°	270°
sin	0	1/2	Ö2/2	Ö3/2	1	0	Ö3/2	Ö2/2	1/2	1
2cos2 a/2=1+cosa 2sin2 a/2=1cosa cos	1	Ö3/2	Ö2/2	1/2	0	1	1/2	Ö2/2	Ö3/2	0
tg	0	1/Ö3	1	Ö3		0	Ö3	1	1/Ö3
ctg		Ö3	1	1/Ö3	0		1/Ö3	1	Ö3	0

sin² +cos² =1 sin=±Ö1cos² sin(a)=sina tg(a)=tga

tg•ctg=1 cos=±Ö1sin² cos(a)=cosa ctg(g)=ctga

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg² =1/cos² =sec²

sin² =(1cos)(1+cos) 1+ctg² =1/sin² =cosec² sin2a=2sina•cosa

cos² =(1sin)(1+sin) 1tg² /(1+tg² )=cos⁴ sin⁴ cos2a=cos² asin² a

cos/(1sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1tga

cos(a+b)=cosa•cosbsina•sinb sin3a=3sina4sin³ a

cos(ab)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos³ a3cosa

sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb

sin(ab)=sina•cosbcosa•sinb 1tga•tgb

sin(2pa)=sina sin(3p/2a)=cosa

cos(2pa)=cosa cos(3p/2a)=sina

tg(2pa)=tga tg(3p/2a)=ctga

sin(pa)=sina ctg(3p/2a)=tga

cos(pa)=cosa sin(3p/2+a)=cosa

sin(p+a)=sina cos(3p/2+a)=sina

cos(p+a)=cosa tg(p/2+a)=ctga

sin(p/2a)=cosa ctg(p/2+a)=tga

cos(p/2a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(ab)[Ñ.Ê.Â.1] /2

tg(p/2a)=ctga sinasinb=2sin(ab)/2*cos(a+b)[Ñ.Ê.Â.2] /2

ctg(p/2a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(ab)/2

sin(p/2+a)=cosa cosacosb=2sin(a+b)/2sin(ab)/2

cos(p/2+a)=sina

Y = S I N x

1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[1;1]

3).Периодическая с периодом 2p

4).Нечётная; sin (x)=sin x

5).Возрастает на отрезках [p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

Убывает на отрезках [p/2+2pk;3p/2+2pk], kÎZ

6).Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kÎZ

Наименьшее значение=1 при х=p/2+2pk, kÎZ

7).Ноли функции х=pk, kÎZ

8).MAX значение=1 х=p/2+2pk, kÎZ

MIN значение=1 х=p/2+p+2pk, kÎZ

9).x>0 на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ

x<0 на отрезках [p+2pk;2p+2pk], kÎZ

Y = C O S x

1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[1;1]

3).Периодическая с периодом 2p

4).Чётная; cos (x)=cos x

5).Возрастает на отрезках [p+2pk;2pk], kÎZ

Убывает на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ

6).Наибольшее значение=1 при х=2pk, kÎZ

Наименьшее значение=1 при х=p=2pk, kÎZ

7).Ноли функции х=p/2+pk, kÎZ

8).MAX значение=1 х=2pk, kÎZ

MIN значение=1 х=p+2pk, kÎZ

9).x>0 на отрезках [p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

x<0 на отрезках [p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

Y = T G x

1).ООФ D(y)все, кроме х=p/2+pk kÎZ

2).ОДЗ E(y)=R

3).Периодическая с периодом p

4).Нечётная; tg (x)=tg x

5).Возрастает на отрезках (p/2+pk;p/2+pk), kÎZ

6). Ноли функции х=pk, kÎZ

7). x>0 на отрезках (pk;p/2+pk), kÎZ

x<0 на отрезках (p/2+pk;pk), kÎZ

[Ñ.Ê.Â.1]

[Ñ.Ê.Â.2]

Учебная работа № 1419. Шпаргалка по геометрии и алгебре