Учебная работа № 1415. Теория устойчивости

Учебная работа № 1415. Теория устойчивости

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, вопервых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; вовторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; втретьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l ⁿ + a₁ l ⁿ¹ + a₂ l ⁿ² + … + a_n = 0. (13)

Зная его корни l ₁ , l ₂ , … , l _n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( l l ₁ ) ( l l ₂ ) … ( l l _n ). (14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)

Рис.12. Векторное изображение сомножителей характеристического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а для двух корней l и l _i ;

б для четырех корней l ₁ , l ‘₁ , l ₂ , l ‘₂

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l l _i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от Ґ до + Ґ векторы j w l ₁ и j w l ‘₁ комплексных корней l и l ‘₁ повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w l ₂ и j w l ‘₂ повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w l _i ) для корня характеристического уравнения l _i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n m ) p m p = ( n 2m ) p . (15)

^{Ґ < w < Ґ для левой для правой}

^{полуплоскости полуплоскости}

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )ⁿ + a₁ ( j w )ⁿ¹ + a₂ ( j w )ⁿ² + … + a_n (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = arg D ( j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n 2m ) p / 2 . (18)

^{0 Ј w < Ґ}

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

^{0 Ј w < Ґ}

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n порядок характеристического уравнения системы).

j V’ j V’

0 U’ 0 U’

а) б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а устойчивые системы при n = 1 6 ; б неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какогонибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальными условиями x ( t₀ ) = x₀ (2)

где x = ( x₁, x₂, … , x_n ) n мерный вектор; t О I = [t₀, + Ґ [ независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , … , f_n ( t , x ) ) n мерная вектор функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t₀ ) = x₀. С целью упрощения все рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x

0 t

Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую векторфункцию x ( t ) как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t₀ , x₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t₀ , x₀ ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t₀ , x₀ ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t₀ , x₀ ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t₀ , x₀ ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) , вызванное отклонением D x₀ начального значения x₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) x ( t ) | = | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) x ( t ; t₀ , x₀ ) |.

Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x₀ на интервале I = = [ t₀, + Ґ [ , т.е. « e > 0 $ d > 0 такое, что « D x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) x ( t ) | Ј e « t і t₀.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x₀ , т.е. $ D > 0 « D x₀.

| D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t₀ , x₀ + D x₀ ) , близкие в начальный момент t₀ к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d трубки ) , не выходят за пределы e трубки при всех значениях t і t₀ .

x

0 t

Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x₁ ( t ) , начинающееся в момент t₀ в D трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x₂ ( t ), начинающееся при t = t₀ за пределами области притяжения, но в пределах d трубки, не покидает e трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II это модель не устойчивого положения равновесия.

x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 « t і t₀.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 « t і t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если « e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что « x₀

| D x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | Ј e « t і t₀.

Если кроме того,

$ D > 0 « x₀ | D x₀ | Ј D Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | ® 0 , t ® + Ґ ,

то решение x ( t ) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t₁ > t₀ « d > 0 x₀ № 0 | x₀ | Ј d Ю | x ( t ; t₀ , x₀ ) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.57.

x

t

0

Рис.5

x

t

0

Рис.6

x

t

0

Рис.7

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x_i = x_i ( t ) ( i = 1, … , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rⁿ с координатами ( x₁ , … , x_n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x₁ = x₁ ( t ), … , x_n = x_n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rⁿ⁺¹ с координатами ( t , x₁ , x₂ , … , x_n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rⁿ⁺¹ трехмерное пространство, а фазовое пространство Rⁿ двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ), на рис.8,б ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x₂ x₂

0 t 0 x₁

x₁

а) Рис.8 б)

Определение 5. Точка ( a₁, a₂ , … , a_n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f₁ , f₂ , … , f_n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a₁ , a₂ , … , a_n ) , 0 = ( 0 , 0 , … , 0 ) .

Если ( a₁ , … , a_n ) точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) є 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rⁿ. В пространстве Rⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.57 в двумерном случае на фазовую плоскость R², причем проекциями e трубки и d трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d окружности, не покидают e окружность « t і t₀ (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A постоянная матрица размера n ґ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x₂

0 x₁

Рис.9

x₂

0 x₁

Рис.10

x₂

0 x₁

Рис.11

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

ж dx / dt = P ( x , y ),

н (A)

о dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x₀ , y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

н (7)

о dy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.

где a_ij ( i , j = 1 , 2 ) постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a ₁ e ^{k t} , y = a ₂ e ^{k t} . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a₁₁ k a₁₂

= 0. (9)

a₂₁ a₂₂ k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ > 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ > 0, k₂ < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁ = 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁ = 0, k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k₁ = p + q i, k₂ = p q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁ = k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dx_{i n}

= е a_{i j} x_j ( i = 1 , 2 , … , n ) (10)

dt ⁱ⁼¹

характеристическим уравнением будет

a₁₁ k a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ k a₂₃ … a_2n = 0. (11)

. . . . . . . .

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x_i ( t ) є 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i = p _i > 0, то точка покоя x_i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, … n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x_i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, … n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

ж x = a₁₁ x + a₁₂ y,

н . (12)

о y = a₂₁ x + a₂₂ y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k² + a₁ k + a₂ = 0.

1) Если a₁ > 0 , a₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а₁ > 0 , a₂ = 0, или a₁ = 0 , a₂ > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a₁ = a₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

Список литературы:

1. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука , 1981.

2. Шестаков А. А., Малышева И. А., Полозков Д. П. Курс высшей математики. М.: ВШ , 1987.

3. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. М.: ВШ , 1973.

4. Абрамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексого переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука , 1968.

5. Чемоданов Б.К. Математические основы теории автоматического регулирования. М.: ВШ ,1977.

Учебная работа № 1415. Теория устойчивости