Учебная работа № 1405. Шпаргалка по высшей математике

Учебная работа № 1405. Шпаргалка по высшей математике

1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1го порядка А=(а₁₁ ) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2го порядка называется число, характеризующее матрицу 2го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3го порядка (Ñ3) равен алгебраической сумме 6ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «».

2. Свойства определителей.

1) Если к.л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то Ñ этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: çА ç=÷ А’÷ . 3) Если все элементы к.л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и Ñ этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её Ñ равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2х элементов, то Ñ этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2х определителей.

3. Минор.

Минором М _ij квадратной матрицы nго порядка для элемента а _ij называется определитель (n1)ого порядка, полученный с данного вычёркиванием iой строки и jого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением А _ij для элемента квадратной матрицы а _ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (1)^{i + j} .

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением nэлементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (1)^{r ( j )} , где r(j)число инверсий). Теорема Лапласа : определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

6. Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера m xn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Векторстрокой называют матрицу, состоящую из одной строки. Векторстолбцом из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n ого порядка . Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы . Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной . Если у диагональной матрицы nого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е . Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нульматрицей .

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число : условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная lА, каждый элемент которой находится по формуле: b_ij =lxa_ij . Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2х матриц : условие складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С _ij =a _ij +b _ij . Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2х матриц : операция аналогична сложению. 4)Умножение 2х матриц : умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера m xk на матрицу В размера k xn называется матрица С размера m xn , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов iой строки матрицы А на соответствующие элементы jого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень : возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение mматриц, равных А. 6)Транспонирование : условий нет; транспонирование операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущя обратн.матрицы): обратная матрица А1 сущт и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной , если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А@ (на месте каждого элта А^т его алгебраич.допя). 5) А¹ = 1/DА *A@. 6) Проверка=>А¹ *А=Е.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [rangA=r(A)]. Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования : 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех элов к.л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому элту к.л. строки или столбца элов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.

Линейным урем относительно неизвестных x₁ ,x₂ ,…,x_n называется выражение видаa₁ x₁ +a₂ x₂ +…+a_n x_n =b, где a₁ ,a₂ ,…,a_n и b простые числа, причём a₁ ,a₁ ,…,a_n называются коэффициентами при неизвестных, а b свободным коэффициентом. Последовательность чисел k₁ ,k₂ ,…,k_n называется решением уря , если при подстановке этих чисел в уре оно обращается в верное равенство. Два линейных уря называются равносильными , если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное уре из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части уря в другую; 2) поэлементное умножение всего уря на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное уре –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Система урий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой , если решений множество. Неизвестное x ₁ называется разрешённым, если к.н. уре системы содержит неизвестное x₁ с коэффициентом, равным 1, а во все др. уря системы неизвестное x₁ не входит. Если каждое уре системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой . Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными . Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число урий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем урий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой КронекераКапелли. Матрица, элтами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы . Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей .

11. Правило Крамера.

Правило Крамера : пусть DАопределитель матрицы системы, а Djопределитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой jого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если DА¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾Xj = D j / D A .

12. Теорема КронекераКапелли.

Теорема КронекераКапелли : СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система урий называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение.

13. Решение систем линейных алгебраических урий методом Гаусса.

Метод Гаусса : каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы урий или в систему, содержащую противоречивое уре. Противоречивым называется уре вида OX₁ +OX₂ +…+OX_n =b. Если каждое уре системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x ₁ называют разрешённым , если к.н. уре системы содержит неизвестное x ₁ с коэффициентом, равным 1, а во все другие уря системы неизвестноеx ₁ не входит.

14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм : 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А¹ ); 3) Умножить А¹ на матрицу свободных коэффициентов (В) ¾X = A ¹ * B .

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных урий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных урий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных урий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A < n . Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. урий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е₁ , е₂ ,…,е_k называется фундаментальной , если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема : если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из nrрешений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. урий имеет вид: с₁ е₁ +с₂ е₂ +…+с_k е_k , где е₁ , е₂ ,…, е_{k –} любая фундаментальная система решений, с₁ , с₂ ,…,с_k – произвольные числа и k=nr. Общее решение системы m линейных урий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных урий и произвольного частного решения этой системы.

1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора `а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ ï a ï = Ö x <sup>2</sup> + y <sup>2</sup> (+ z <sup>2</sup> ) ] . Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается `0. ( направление `0 произвольно, не определено). Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный `а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными , если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.

2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

1)Сложение 2х векторов : (правило треугольников ) суммой 2х векторов `а и`в называют вектор `с =`а +`в, начало которого совпадает с началом `а, а конец с концом `в при условии, что начало `в совпадает с концом`а. 2) Сложение нескольких векторов : (правило многоугольника ) сумма 4х векторов `а,`в,`с,`d есть вектор`е =`а +`в +`с +`d, начало которого совпадает с началом `а, а конец с концом`d. (правило параллелепипеда ) сумма 3х векторов `а,`в,`с определяется как `d =`а +`в +`с. 3)Вычитание 2х векторов : разностью 2х векторов `а и `в называется сумма `а и `в (противоположного). 4) Суммой 2х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: `S = `x +`y, S_i =xi + yi»i. 5) Произведением `x на действительное число а называется `в = а`x, каждая компонента которого равна а×`x_i . Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное свво суммы (переместительное); 2)ассоциативное свво суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя:

Учебная работа № 1405. Шпаргалка по высшей математике