Учебная работа № 1378. Двойной интеграл в полярных координатах
П
усть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и = i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
rj = rj+1 rj,
i = i+1 i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj i rj (3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3′)
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3′), п
олучаем:
(4)
где d максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos, r sin)r,
с
оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно
(5)
С
равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Д
ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(), r1() однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)
Пример 1.
П
ереходя к полярным координатам и r, вычислить двойной интеграл
Где S первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
т
п
олучим
О
Н
П
оэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В
интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: =0,
=/4, r cos=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
О
тсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
и
меем
Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения
РЕФЕРАТ
Выполнил студент
группы 605ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1