Учебная работа № 1354. О некоторых применениях алгебры матриц

Учебная работа № 1354. О некоторых применениях алгебры матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНОБАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова Залина

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:

д.ф.м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /

Рецензент:

к.ф.м.н.,доцент /В.М.Казиев/

Допущена к защите 2002г.

Заведующий кафедрой

к.ф.м.н.,доцент /А.Х.Журтов/

Нальчик2002

стр.

3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретикочисловых фактов (предложения 14); при этом основную роль играют матрицы циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными

(1)

Определитель которой отличен от нуля:

(2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

(3)

где матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

(4)

столбец (Матрицастолбец) неизвестных

столбец свободных членов системы (1)

Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и ее решение)

,

где обратная матрица имеет вид:

(алгебраическое дополнение элемента в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений . Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему КошиБине об определителе произведения матриц.

Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера:

()

(Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой го столбца столбцом неизвестных:

(5)

Теперь из равенств

,

где матрица, получающаяся заменой го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:

, откуда ввиду имеем

.

(здесь получается из , как и из ).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (попрежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя:

Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим:

(),

откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел .

Матрица вида:

называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.

Вынесем общий множитель из последней строки:

.

Так как

,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1 . Уравнение

(2)

не имеет решений в натуральных числах

Доказательство : Если вещественные положительные числа, не все равные между собой, то

(3)

Пусть не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,

. (4)

Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

Пусть и натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы:

противоречие.

Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем

,

откуда

.

Таким образом, доказано что уравнение

не имеет решений в натуральных числах .

Предложение 2 . Уравнение

разрешимо в натуральных числах .

Доказательство : удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство

противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .

Поэтому получаем

.

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .

Предложение 3 . Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство : Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)

где мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

. (5)

Предложение 4 . Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство : Пусть число делится на простое число вида :

.

Требуется доказать, что частное имеет вид .

Предположим, что задача уже решена, т.е.

, (6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.

и

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем:

(7)

(8)

. (9)

Так как простое число и делит , то равенство (9) показывает, что или делится на .

Пусть . Тогда из тождества

,

верного в силу (5) следует, что на делится и число , а поскольку простое, , так что в силу (7) целое число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:

и Предложение 4 доказано.

Если же , т.е. в силу (8) целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:

;

отсюда следует, что , т.е. целое. В этом случае

.

§3. Матричный вывод формулы Кардано

В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения.

Пусть дано любое кубическое уравнение

. (1)

Если его корень, то , поэтому

, т.е. есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.

. (2)

Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида

, (3)

которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку

, (4)

получим:

Учебная работа № 1354. О некоторых применениях алгебры матриц