Учебная работа № 1335. Некоторые главы мат. анализа

(5 оценок, среднее: 4,60 из 5)

Загрузка...

Учебная работа № 1335. Некоторые главы мат. анализа

Некоторые главы мат анализа

ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Основные сведения

Функция f (x ), определенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т .

2) Если функция f (x ) период Т , то функция f (ax )имеет период .

3) Если f (x ) периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f (x ) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n =1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье , а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f (x ) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f (x ) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочномонотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f (x ) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x ) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочногладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f (x ) четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (x ) = f (x ) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

= 0 , где n =1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f (x ) нечетная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (x ) = f (x ).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n =1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где,

Если f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L ], то доопределив заданную функцию f (x ) соответствующим образом на [L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2L ), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a ,b ], надо : доопределить на [b ,a +2L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [b 2L ,a ] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций непрерывных на отрезке [a ,b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [a ,b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

Пусть теперь f (x ) любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:

n=1,2,…

Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи

где n =1,2,…

Пусть теперь f (x ) любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x ), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2, . . .)

Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

(1) , где а положительное число.

Наша з а д а ч а найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

(2)

и начальных условиях:

(3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t )0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u (x,t )=X (x )T (t ), (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть Тогда X ”=0 и его общее решение запишется так:

откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть . Тогда решив уравнение

получим , и, подчинив, найдем, что

в) Если то

Уравнения имеют корни :

получим:

где произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

откуда , т. е.

(n =1,2,…)

(n =1,2,…).

Учитывая это, можно записать:

(n=1,2,…).

и, следовательно

, (n =1,2,…),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n =1,2,…),

где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия

Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

где

(n =1,2,…)

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [L , L ] функция была бы кусочногладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x )

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где ,

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f (x )четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

(3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так:

где a (u ) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) :

(4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

где b (u ) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

, (5)

где

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ).

Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n =1,2,… , k =1,2,…

Дискретным преобразованием Фурье называется N мерный вектор

при этом, .

Разложение четной функции в ряд

Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2

Рис.2

поэтому разложение по косинусу имеет вид:

Из разложения видим что при n =2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:

На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:

и вообще

Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1ая гармоника

2ая гармоника

3я гармоника

4ая гармоника

5ая гармоника

А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):

Комплексная форма ряда по косинусам

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n =+2 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n =2:

( т.к. )

И вообще комплексная форма:

или

Разложение нечетной функции в ряд

Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3

Рис.3

поэтому разложение по синусам имеет вид:

Из данного разложения видно, что при n =2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.

При n =1:

и при n =2:

Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде

и вообще

Найдем первые пять гармоник для данного разложения:

1ая гармоника

2ая гармоника

3ая гармоника

4ая гармоника

5ая гармоника

И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F (x )

Вывод:

На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.

Комплексная форма ряда по синусам

Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:

, (т.к. )

тогда комплексный ряд имеет вид:

ГЛАВА 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Проверка условий представимости

Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).

Рис.4

а) f(x)определенна на R;

б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на кусочнoмонотонна.

f(x) = const на и .

< .

Интеграл Фурье

В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a (u ) и b (u ):

;

И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:

Интеграл Фурье в комплексной форме

Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:

а теперь получим интеграл в комплексной форме:

ГЛАВА 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Основные сведения

Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, … :

. . . . . . . . . .

Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:

где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от 1 до 1.

Преобразование функции

Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от 1 до 1.

Замена:

и тогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда

Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:

Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:

Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно слагаемое:

А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F (t ) на промежутки от 1 до 0 (рис.5):

Рис. 5

т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.

ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Прямое преобразование

Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N =8 частей, так чтобы приращение:

В нашем случае , и значения функции в k ых точках будет:

для нашего случая (т.к. a =0).

Составим табличную функцию:

k	1	2	3	4	5	6	7
	0.785	1.571	2.356	3.142	3.927	4.712	5.498
	0.707	1	0.707	0	0	0	0

Табл. 1

Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора называется . Поэтому найдем :

, n =0,1,…,N 1

Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).

Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:

зная, , где

, где

n	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	1	2	3	4	5	6	7
	2,4	2	1	0	0.4	0	1	2
	0.318	0.25	0.106	0	0.021	0	0.009	0

Табл. 2

Амплитудный спектр

Обратное преобразование

Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование есть функция :

В нашем случаи это:

А теперь найдем модули и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:

k	1	2	3	4	5	6	7
	0.785	1.571	2.356	3.142	3.927	4.712	5.498
	0.707	1	0.707	0	0	0	0
	0.708	1	0.707	8e4	5e5	5e4	3e4

Табл. 3

Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .

Построим графики используя табл.3, где это F (k ), а это f (k ) рис. 6 :

Рис. 6

Вывод:

На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.

Этап I

1 Постановка задачи

Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95

а) б)

Рис. 1.1

Первый способ

каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.

Второй способ

подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.

№ элемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Надежность	0.6	0.6	0.6	0.3	0.7	0.4	0.3	0.5	0.1
Надеж.(резер.)	0.3	0.3	0.3	0.15	0.35

2 Теоретическая часть

Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В , или обоих событий вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие D , состоящее в совместном выполнении события А и события В .

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :

1. Вероятность любого события находится в пределах:

2. Если А и В несовместные события , то

3. Если имеется счетное множество несовместных событий А₁ , А₂ , … А_n , … при , то

Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице , т.е. если

; при

то

Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице :

Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

, или

Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.

Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p . Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.

Рис. 2.1

Событие A ={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А ₁ , А ₂ , … А_n , где A_i ={безотказная работа i го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем

Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p . Найти вероятность безотказной работы всей системы.

Рис. 2.2

От события В ={система будет работать} перейдем к противоположному:={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий:

={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.

По правилу умножения для независимых событий:

3 Практическая часть

Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :

, а также резервной схемы (рис. 1б) :

Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока

Рис. 3.1

Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :

, где

Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения :

Шаг первый, при N =1

< 0.95

Шаг второй, при N =2

< 0.95

Шаг третий, при N =3

< 0.95

Шаг четвертый, при N =4

< 0.95

Шаг пятый, при N =5

> 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.

Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность .

Рис. 3.2

Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :

, где

, а смотри выше.

Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения :

При N =1 : < 0.95

При N =2 : < 0.95

При N =3 : < 0.95

При N =4 : < 0.95

При N =5 : < 0.95

При N =6 : > 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.

Этап II

1 Постановка задачи

найти неизвестную константу функции f (x );

выписать функцию распределения, построить их графики;

найти математическое ожидание и дисперсию;

найти вероятность попадания в интервал (1;4).

2 Теоретическая часть

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.

Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х :

Основные свойства функции распределения:

1) F (x ) неубывающая функция своего аргумента, при .

2) .

3) .

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f (x ) :