Учебная работа № 1334. Алгебра матриц
Основные понятия
Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей.
Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица
|
|
В сокращенной записи: А=(аij ); где аij действительные числа, i=1,2,…m;
j=1,2,…,n (кратко
Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:
Упорядоченный набор элементов а11 ,а22 ,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1 n ,а2, n 1 ,…,аn 1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:
называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:
|
Линейные операции над матрицами
Определение. Суммой матриц А=(аij ) и B=(bij ) одинаковых размеров
Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,
A + B =
Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij ), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.
Например, если
Разность матриц А и В можно определить равенством АВ=А+(1)В.
Рассмотренные операции называются линейными.
Отметим некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b действительные числа.
А+В = В+А – коммутативность сложения.
(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( А)=О.
a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.
7. a(А+В) = aА+aВ. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.
Умножение матриц
В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.
Определение. Произведением матрицы А=(аij ) размера
Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в iой строке и jом столбце, равен сумме произведений элементов iой строки первой матрицы А на соответствующие элементы jого столбца второй матрицы В т.е.
Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
1.
2.
Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е.
3.
Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.
Получим
Свойства умножения матриц.
Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.
l(АВ) = (lА)В = А(lВ).
ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.
Пусть для А=(аij ), B=(bij ), C=(cij ) произведения матриц определены. Найдем элемент iой строки и jго столбца матрицы А(В+С). Это будет число
аi 1 (b1 j +c1 j )+ аi 2 (b2 j +c2 j )+…+аin (bnj +cnj ) =
(аi 1 b1 j +ai 2 b2 j +…+ain bnj )+ (аi 1 c1 j +ai 2 c2 j +…+ain cnj ).
Первая сумма в правой части равенства равна элементу из iой строки и jго столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из iой строки и jго столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:
Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:
Упражнение 3. Найти матрицу А3 , если
Вырожденные и невырожденные матрицы
Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.
Пример.
Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.
Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е.
Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е.
Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.
Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если
АВ = ВА = Е. (1)
Пример.
В – матрица обратная к А.
Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.
Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что
АХ = ХА = Е (2)
АУ = УА = Е (3)
Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Обратная матрица А1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.
Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А1 , т.е. А
Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n
так что ее определитель
ее называют присоединенной к матрице А.
Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам iой строки матрицы А стоят в iом столбце матрицы А* , для
При i = j получим сумму произведений элементов i ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = |А| = D это элементы главной диагонали матрицы С. При i
Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А* А = АА* = С. Отсюда следует, что
Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять
Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:
Находим D = |А| = 1 ¹ 0, А
А
А
А
А