Учебная работа № 1304. Развитие аналитической геометрии

Учебная работа № 1304. Развитие аналитической геометрии

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

Развитие аналитической геометрии

Выполнила

студентка

физикоматематического

факультета

V курса, группы “Г”

Гуленкова Оксана

Могилев 2002.
Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто­рию. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат­ных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно­кратно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометриче­ская алгебра, в которой место вычислений занимали построения от­резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер­воначально работы в этом направлении не выходили за пределы тради­ционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым по­следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorumproblematumcollectio, Veneliae, 1607) и посмертно из­данном труде «О математическом анализе и синтезе» (Deresolutioneetcompositionemathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви­ета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре­угольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относи­тельно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (subalgebramnoncadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и по­казал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его кор­ни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир­рациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит срав­нительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее раз­виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение при­надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге кото­рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений алКаши, «Ключ ма­тематики» (Clavismathematicae, Londini, 1631)[1] , отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой яв­ляется уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор­нями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхно­стей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или ко­ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной по­верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид коор­динат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свой­ства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фи­гуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых коор­динат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометри­ческой алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диа­метра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку про­веденными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x ). В своем упоминав­шемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые

выражения передал оборотом ordinatimapplicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)[2] , а вто­рое — quaeabipsisexdiametroadverticemabscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, уко­ренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техниче­ским термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геомет­рии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических се­чений» — Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applica­ta, Декарт — appliqueeparordre, т. е. французским переводом ordinatimapplicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза­долго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латин­ском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геомет­рии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенны­ми, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, dieAbscisse» и «Ordinatae, ordinatimapplicatae, dieOrdinaten» «Математического словаря» (MathematischesLexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику­лярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два­дцатью годами ранее Я. де Витт писал об initiumimmutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.

Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских ма­тематика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое « в изучение плоских и телесных мест» (Adlocospianosetsolidosisagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав­нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitatesignotae), налицо имеется место, и ко­нец одной из них описывает прямую или же кривую линию… Для уста­новления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»[3] . Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямоли­нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебра­ически буквой А , а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рас­сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы­водит в форме

D на А равно В на Е ,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI , так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу со­стоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с dx = by Ферма переходит к d (r х ) = by , где dr = с. Идею преобразования координат путем па­раллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле­дующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b ² x ² = у ² , он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b ² 2dx = у ² + 2r у .

Для этого он производит дополнение до квадрата

p ¹ (х + d )² = (у + r )² , где р ² = r ² + b ² + d ² ,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p ² x ² = у ² .

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица­тельных координатах, какими оказываются координаты центра (d , r ) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x ² = dy и симметричное у ² = dx , для эллипса (b ² x ² )/y ² = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b ² + x ² )/y ² = const. Любопытно, что на рисунке в по­следнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опятьтаки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b ² 2x ² = 2xy + у ² Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе­реходу к новой системе координат X ,Y с прежним началом и осью орди­нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = х , Y = x + у , так что (2b ² — X ² )/Y ² = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»[4] . На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда­нию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое ны­нешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.[5]

Аналитическая геометрия Декарта

«» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в ал­гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд­нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши­тельные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял бо­лее развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де­карта в то, что единственным общим методом математики является алге­браический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выра­жениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерыв­ным движением или же несколькими такими последовательными движе­ниями. пз которых последующие вполне определяются им предшествую­щими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»[6] . Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются меха­нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»[7] . Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае­мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x ₁ = x ₁ : x ₂ = x ₂ : х ₃ = … =x _n : b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r ² (x ² + у ² )^{2 n 1} = x ^{4 n} (n = 0,1, 2,…)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движения­ми, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно переме­щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»[8] . Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоми­навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со­гласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи­сать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс­цендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометриче­ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче­скую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какуюлибо точную и определенную меру, обяза­тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»[9] . В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у ,— первой координатой у него служила у .

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи­ческими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от тер­минологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исклю­чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зави­симости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для все­общей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитиче­ской геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при­водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда ми­моходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предло­жение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямо­линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что­бы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»[10] . Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС , описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен­ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL , сторона кото­рой KL движется вдоль данной прямой ВА , заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L . При­няв GA , перпендикуляр к ВА , равным а , KL = b ,NL = с , выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве­стные величины» СВ = у , ВА = х.

Учебная работа № 1304. Развитие аналитической геометрии