Учебная работа № 1285. Все формулы по математике в школе
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)?=a?±2ab+b?
(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?
a?b?=(a+b)(ab)
a?±b?=(a±b)(a?∓ab+b?),
(a+b)?=a?+b?+3ab(a+b)
(ab)?=a?b?3ab(ab)
xn an =(xa)(xn1 +axn2 +a?xn3 +…+an1 )
ax?+bx+c=a(xx1 )(xx2 )
где x1 и x2 — корни уравнения
ax?+bx+c=0
Степени и корни :
ap ·ag = ap+g
ap :ag =a pg
(ap )g =a pg
ap /bp = (a/b)p
ap ×bp = abp
a0 =1; a1 =a
ap = 1/a
p Öa =b => bp =a
p Öap Öb = p Öab
Öa ; a ? 0
____
/ __ _
p Ög Öa = pg Öa
___ __
pk Öagk = p Öag
p ____
/ a p Öa
/ ¾¾ = ¾¾¾¾
Ö b p Öb
a 1/p = p Öa
p Öag = ag/ p
Квадратное уравнение
ax?+bx+c=0; (a¹0)
x1,2 = (b±ÖD)/2a; D=b? 4ac
D>0® x1 ¹x2 ;D=0® x1 =x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1 +x2 = b/a
x1 × x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x? + px+q =0
x1 +x2 = p
x1 ×x2 = q
Если p=2k (pчетн.)
и x?+2kx+q=0, то x1,2 = k±Ö(k?q)
Нахождение длинны отрка
по его координатам
Ö((x2 x1 )?(y2 y1 )?)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹0
a loga x = x, loga a =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
loga xy = loga x + loga y
loga x/y = loga x loga y
loga xk =k loga x (x >0)
loga k x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logc a); c>0,c¹1
logb x = (loga x)/(loga b)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n1)
Sn = ((2a1 +d(n1))/2)n
Геометрическая
bn = bn1 × q
b2 n = bn1 × bn+1
bn = b1 ×qn1
Sn = b1 (1 qn )/(1q)
S= b1 /(1q)
Тригонометрия .
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (pa) = sin a
sin (p/2 a) = cos a
cos (p/2 a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sin?a + cos?a =1
ctg a = cosa / sina , a¹pn, nÎZ
tga× ctga = 1, a¹ (pn)/2, nÎZ
1+tg?a = 1/cos?a , a¹p(2n+1)/2
1+ ctg?a =1/sin?a , a¹pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (xy) = sin x cos y cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y sin x sin y
cos (xy) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1tg x tg y )
x, y, x + y ¹p/2 + pn
tg(xy) = (tg x tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x y ¹p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos?a sin?a = 2 cos?a 1 =
= 12 sin?a
tg 2a = (2 tga)/ (1tg?a)
1+ cos a = 2 cos?a/2
1cosa = 2 sin?a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1tg?(a/2))
Флы половинного аргумента.
sin?a/2 = (1 cos a)/2
cos?a/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1cos a)/sin a
a¹p + 2pn, n ÎZ
Флы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((xy)/2)
sin x sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((xy)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (xy)/2
cos x cos y = 2sin (x+y)/2 sin (xy)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x y)
tg x tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ?(cos (xy) cos (x+y))
cos x cos y = ?(cos (xy)+ cos (x+y))
sin x cos y = ?(sin (xy)+ sin (x+y))
Соотнош. между фями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2 x/2)
cos x = (1tg2 2/x)/ (1+ tg? x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2 x)
sin?a = 1/(1+ctg?a) = tg?a/(1+tg?a)
cos?a = 1/(1+tg?a) = ctg?a / (1+ctg?a)
ctg2a = (ctg?a1)/ 2ctga
sin3a = 3sina 4sin?a = 3cos?asinasin?a
cos3a = 4cos?a3 cosa=
= cos?a3cosasin?a
tg3a = (3tgatg?a)/(13tg?a)
ctg3a = (ctg?a3ctga)/(3ctg?a1)
sin a/2 = ±Ö((1cosa)/2)
cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)
tga/2 = ±Ö((1cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1cosa)/sina
ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1cosa))=
sina/(1cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aÎ [p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; aÎ [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; aÎ[p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; aÎ [ 0 ; p]
arcsin(sin a )=
1)a 2pk; aÎ[p/2 +2pk;p/2+2pk]
2) (2k+1)p a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]
arccos (cos a ) =
1) a2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]
2) 2pka ; aÎ[(2k1)p; 2pk]
arctg(tg a )= a p k
aÎ(p/2 +pk;p/2+pk)
arcctg(ctg a ) = a p k
aÎ(pk; (k+1)p)
arcsina = arcsin (a)= p/2arccosa =
= arctg a/Ö(1a?)
arccosa = parccos(a)=p/2arcsin a=
= arc ctga/Ö(1a?)
arctga =arctg(a) = p/2 arcctga =
= arcsin a/Ö(1+a?)
arc ctg a = parc cctg(a) =
= arc cos a/Ö(1a?)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ö(1+a?)= arccos1/Ö(1+a?)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| ? 1
x = (1)n arcsin m + p k , kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = 1
x = p/2 + 2 pk
cos x = m ; |m| ? 1
x = ± arccos m + 2 p k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = 1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2 ); t tg
cos x/2 = (1t?)/(1+t?)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x) >(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
loga f(x) >(<) log a j(x)
1. a>1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
j(x)>0
f(x)<j(x)
3. log f(x) j(x) = a
ОДЗ: j(x) > 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x Ö3 cos x = 0
2sin x cos x Ö3 cos x = 0
cos x(2 sin x Ö3) = 0
….
2. Решения заменой ….
3.
sin? x sin 2x + 3 cos? x =2
sin? x 2 sin x cos x + 3 cos ? x = 2 sin? x + cos? x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нерва :
sin a ³ m
2 p k+ a 1 ? a ? a 2 + 2 p k
2 p k+ a 2 ? a ? ( a 1 +2 p )+ 2 p k
Пример:
I cos (p/8+x) < Ö3/2
pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk
2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;
II sin a? 1/2
2pk +5p/6 ?a? 13p/6 + 2pk
cos a ³ ( ? ) m
2 p k + a 1 < a < a 2 +2 p k
2 p k+ a 2 < a < ( a 1 +2 p ) + 2 p k
cos a³ Ö2/2
2pk+5p/4 ?a? 11p/4 +2pk
tg a ³ ( ? ) m
p k+ arctg m ? a ? arctg m + p k
ctg ³ ( ? ) m
p k+arcctg m < a < p + p k
Производная:
(xn )’ = n× xn1
(ax )’ = ax × ln a
(lg ax )’= 1/(x×ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = sin x
(tg x)’ = 1/cos? x
(ctg x)’ = 1/sin?x
(arcsin x)’ = 1/ Ö(1x?)
(arccos x)’ = 1/ Ö(1x?)
(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x?)
(arcctg x)’ = 1/ Ö(1+x?)
Свва:
(u × v)’ = u’×v + u×v’
(u/v)’ = (u’v uv’)/ v?
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0 )+ f ’(x0 )(xx0 )
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0 , f(x0 ), f ‘ (x0 ), выразим х
Интегралы :
ò xn dx = xn+1 /(n+1) + c
ò ax dx = ax/ln a + c
ò ex dx = ex + c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cos? x = tg x + c
ò 1/sin? x = ctg x + c
ò 1/Ö(1x?) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö(1x?) dx = arccos x +c
ò 1/1+ x? dx = arctg x + c
ò 1/1+ x? dx = arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
a? = b?+c? 2bc cos a
b? = a?+c? 2ac cos b
c? = a? + b? 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=?(a+b+c)
_____________
S = Öp(pa)(pb)(pc)
S = ?ab sin a
Sравн . =(a?Ö3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pR?
Sсектора =(pR?a)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн ×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн. ×H
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1 +S2 +ÖS1 S2 )
S1 и S2 — площадиосн.
Sполн . =Sбок . +S1 +S2
Конус
V=1/3 pR?H
Sбок . =pRl
Sбок . = pR(R+1)
Усеченный
Sбок. = pl(R1 +R2 )
V=1/3pH(R1 2 +R1 R2 +R2 2 )
Призма
V=Sосн. ×H
прямая: Sбок. =Pосн. ×H
Sполн. =Sбок +2Sосн.
наклонная :
Sбок. =Pпс ×a
V = Sпс ×a, а бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pR?H ; Sбок. = 2pRH
Sполн. =2pR(H+R)
Sбок. = 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pR? шар
S = 4pR? сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pR?H
H высота сегм.
Шаровой сегмент
V=pH?(RH/3)
S=2pRH
град | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 180° | |||||
a | p/2 | p/3 | p/4 | p/6 | 0 | p/6 | p/4 | p/3 | p/2 | 2p/3 | 3p/4 | 3p/6 | p |
sina | 1 | Ö3/2 | Ö2/2 | ? | 0 | ? | Ö2/2 | Ö3/2 | 1 | ? | 0 | ||
cosa | 1 | Ö3/2 | Ö2/2 | ? | 0 | ? | Ö2/2 | Ö3/2 | 1 | ||||
tga | Ï | Ö3 | 1 | 1/Ö3 | 0 | 1/Ö3 | 1 | Ö3 | Î | Ö3 | 1 | 0 | |
ctga | Ö3 | 1 | 1/Ö3 | 0 | 1/Ö3 | 1 |
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
3 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
4 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 |
5 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 |
6 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | |||
7 | 128 | 2181 | ||||||
8 | 256 | 6561 |
a | pa | p+a | p/2a | p/2+a | 3p/2 a | 3p/2+a | |
sin | sina | sina | sina | cosa | cosa | cosa | cosa |
cos | cosa | cosa | cosa | sina | sina | sina | sina |
tg | tga | tga | tga | ctga | ctga | ctga | ctga |
ctg | ctga | ctga | ctga | tga | tga | tga | tga |