Учебная работа № 1257. Формула Шлетца

Учебная работа № 1257. Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p₁ ,p₂ ).

А₁ аффинная прямая. Отнесем прямую А₁ к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d² `e + 1/6d<sup>3</sup> `e +… по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+… Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p₁ ,p₂ ) – пространство всех пар (p₁ ,p₂ )точек p₁ ,p₂ прямой А_{1 .} Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р₁ р₂ , а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub> ; при этом р<sub>2</sub> совместится с концом вектора `е.

Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁ ,р₂ ) являются формы Пфаффа : W+q , W+q.

Очевидно, что dim R(p₁ ,p₂ ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁ *р₂ * , близкого к р₁ р₂ ,по отношению к р₁ р₂ .

§ 2. Отображение f.

А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` e<sub>j</sub> }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp =W<sup>j</sup> e<sub>j</sub> ; d ` e_j =W_j ^k ;

DW^j =W^k ^W_k ^j ; DW^j =W_j ^y ^W_y ^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А₂ в пространстве R(p₁ ,p₂ ):f:A₂ ® R(p₁ ,p₂ ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f¹ (p₁ ,p₂ ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l _j W^j ; QW= m _j W^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f¹ : R(p₁ ,p₂ ) ® A₂ обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f¹ имеют вид :

W^j = l ^j (Q+W)+ m ^j (QW) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l ^k l _j + m ^k m _j = d _j ^k

l ^j l _j =1

m ^j m _j =1 (*)

l ^j m _j =0

m ^j l _j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_j W^j WQ)=0 ,

получаем :

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

D(μ_j W^j +WQ)=0

получаем :

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_j W^j

QW=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁ = {λ_j ,μ_j } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_k ^W_j ^k +λ_k dW_j ^k +1\4(λjμ_k λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )dW^k +dλ_jk ^W^k +λ_jk dW^k =0 .

получим:

(dλ_jt λ_kt W_j ^k λ_jk W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt μ_k λ_jk )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j μ_j )W^k )^W^t =0

dμ_k ^W_j ^k +μ_k dW_j ^k +1\4d(λ_j μ_k λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )dW^k +dμ_jk ^W^k +μ_jk dW^k =0

получим:

(dμ_jt μ_kt W_j ^k μ_jt W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt μ_k λ_jt )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j μ_j )W^k )^W^t =0

обозначим:

λ _j =dλ_j λ_t W_j ^t

μ_j =dμ_j μ_t W_j ^t

λ_jk =dλ_jk λ_tk W_k ^t λ_jt W_k ^t

μ_jk =dμ_tk W_j ^t μ_jt W_k ^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λ_j W^j

QW=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k (4)

λ_jk =(1\4(μ_α λ_jk λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j λ_j )+λ_jkα )W^α

μ_jk =(1\4(μ_α λ_jk λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j λ_j )+μ_jkα )W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г₂ = {λ_j ,μ_j ,λ_jk ,μ_jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_Р порядка р :

Г_Р = {λ_j ,μ_j ,λ_j1j2 ,μ_j1j2 ,…,λ_j1j2…jp ,μ_j1j2…jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j },{μ_j } образует подобъекты геометрического объекта Г₁ . Будем называть их основными ковекторами 1го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_j X^j =1 ; μ_j X^j =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ^j ,μ^j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j ,μ^j } охватываются объектом Г₁ .

Из (*) получаем:

dλ^j =λ^k W_k ^j 1\4(λ^j +μ^j )μ_t W^t λ_kt λ^k λ^t W^t μ_kt W^t ^λ^k μ^j

dμ^j =μ^k W_k ^j λ_kt μ^k λ^j W^t μ_kt μ^k μ^j W^t +1\4λ_t (λ^j +μ^j )W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁ . Будем называть их основными векторами 1го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v₁ =λ^j e_j (вектора v₂ =μ^j e_j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λ_j X^j =0 , μ_j X^j = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j } и {μ^j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и

Учебная работа № 1257. Формула Шлетца