Учебная работа № 1223. Основы математики
Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
1 C00
1 1 C10 C11
1 2 1 C20 C21 C22
1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1. Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно
сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел nой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис
лам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре
дыдущей сроке.
4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.
Сmn=Cmmn
2. Бином Ньютона.
(a+b) двучлен (бином)
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
и т.д. 😉
Свойства бинома Ньютона:
1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны
между собой.
3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
n
(a + b)n = S Cnk.ank.bk
k=0
4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.ank.bk
5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
Метод математической индукции.
Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
1) Оно верно при n=1;
2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно
при n=k+1.
Комбинаторика: Размещения и перестановки.
Определение: Группы составленные из какихлибо предметов отличаю
щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое
динениями.
3 рода соединений:
1) Размещения
2) Перестеновки
3) Сочетания
Дано: (a,b,c) 3 элемента.
по одному: a, b, c.
по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
1). Соединения, которые содержат nэлементов, отличающихся или поряд
ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m
¬
¦ m! ¦
¦Amn= +
¦ (mn)!¦
L
2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются
перестановками.
¬
¦Pm=m!¦
L
2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на
зываются сочетениями.
¬ Свойства числа сочетний:
¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmmn
¦Сmn= + 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
¦ (mn)!n!¦ 3) Cm0=1
L 4) C00=0!=1
Дифференцирование функций.
Производная функции
h=xa приращение аргумента
f(a+h) f(a) приращение функции
¬
¦ f(a+h) f(a)
¦k=lim = f'(x) или f'(a)
¦ h>0 h
+
¦f(a+h)f(a)=(k+a).h
L
df = f'(x).dx дифференциал функции.
Примеры:
1 1/(h+x)1/x h/(x(x+h))
1) f(x)= ; f'(x) = lim = lim =
x h>0 h h>0 h
1 1
= lim =
x(x+h) h2
|\\ 1
2) (x2)’ = 2x; (ax+b)’ = a; (? a )’ =
2?x
(ax2 + bx + c)’ = 2ax + b; (x3)’ = 3×2
¬
¦(axn)’ = n.xn1¦
L
Техника дифференцирования.
(fg)’ = f’g + fg’ Угловой коэффициент касательной в данной то
(f + g) = f’ + g’ чке равен значению производной в данной точ
( f )’ f’g + fg’ ке.
¦ ¦ =
9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ
водная отрицательна.
(fn)’ = nfn1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про
n|\\ 1 изводная положительна.
? f = 3) Если производная равна нулю или не сущес
n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные
экстремумы.
4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:
а) Значение функции на краях промежутка;
б) Экстремумы функции на данном промежутке;
в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
Дифференцирование тригонометрических функций.
¬ ¬
¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
¦ Lim = 1¦ ¦Lim ¦
¦x>0 x ¦ ¦x>0 x ¦
L L
(Sin x)’ = Cos x
(Cos x)’ = Sin x
1 1
(tg x)’ = ; (Ctg x)’ =
Cos2x Sin2x
Спецкурс » Уравнения и неравенства с параметрами «.
» Исследование квадратного трехчлена «
Теорема 1.
¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.
¦ D . 0,
¦ x0 > M,
¦ f(M) < 0
L
Теорема 2.
¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,
x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.
¦ D . 0,
¦ x0 < b,
¦ f(b) < 0
L
Теорема 3.
¦ ( а > 0,
¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0
¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0,
=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b
¦ ( a < 0,
¦ 2 D . 0,
¦ Б M < x0 < b,
¦ 2 f(b) < 0,
¦ 9 f(M) < 0
L
Теорема 4.
¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) > 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0,
=============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) < 0
L
Теорема 5.
¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0
x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) < 0,
¦ 9 f(M) > 0
L
Теорема 6.
¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) > 0
L
Теорема 7.
¦ а > 0,
¦ f(M) < 0,
x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=========== ¦ f(M) > 0
L
Числовая последовательность.
1). Числовая последовательность такой ряд чисел, который занумеро
ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an)
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7…an
f(n) закон, по которому каждому номеру соответствует свой член
последовательности. |\\ |\ |\
Последовательность называют возрастающей, если каждый член после
довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.
Последовательность называется убывающей, если каждый член после
довательности меньше предыдущего, т.е.: если an+1<an, то (an)^.
an , M => (an) ограниченная сверху.
an . M => (an) ограниченная снизу.
2). Арифметическая прогессия [_]
Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже
число, которое называется разностью прогрессий.
_ a1,a2,a3,a4…an
a2=a1+d; d разность прогрессий
¬
¦an=a1+(n1)d¦ формула любого члена арифметической прогрессии…
L
Свойства членов арифметической прогресии:
1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети
ческое членов, с ним соседних: an=(an1+an+1)/2
2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между
собой: a1+an=a2+an1=a3+an2
3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети
ческое равноудаленных от него членов.
¬ ¬
¦ (a1+an)n¦ ¦ 2a1+(n1)d ¦
¦S_=+ ¦S_=.n¦
¦ 2 ¦ ¦ 2 ¦
L L
3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором
каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно
и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q)
b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д.
¬
¦bn=b1.q(n1)¦ формула лыбого члена арифметической прогрессии.
L
Свойства членов геометрической прогрессии:
|\\\\\\\\\\
1. bn=? bnk.bn+k
2. b1.bn=bk.bnk+1
2. Произведение nчленов геометрической прогрессии равно:
¬
¦ |\\\\\\\ |\\\\\\\\\¦
¦P=?(b1.bn)n = ?(b12qn1)n¦
L
4. Сумма nчленов геометрической прогрессии равна:
bnqb1 b1(qn1)
S= =
q1 q1
1
lq9m.pdr 2 1
Основные формулы сокращенного умножения.
a2 + b2 = (a + b)2 2ab
a2 + b2 = (a b)2 + 2ab
a2 b2 = (a b)(a + b)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a b)2 = a2 2ab + b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)
an bn = (a b)(an1 + an2b + an3b4 + … +bn1)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)
a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 a + 1)
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
|\\\\\\\\\ |\\\\\\\\\
/ A + ?AB / A + ?AB
A + B = / + /
? 2 ? 2
|\\ |\\ |\\ |\\
a b = (? a ? b )(? a + ? b )
|\\ |\\ 3|\\ |\\\ 3|\\
a b = ((? a ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)
|\\ > a, если a . 0!
? a2 = ¦a¦+
L>a, если a < 0!
Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n 2)
Формула Герона S = ?p(p a)(p b)(p c)
Правильный многоугольник:
an = 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)
Sn = p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)
Sквадрата = a.b abc
Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a =
4R
d1.d2
Sпараллелограма = ab.Sin a = = a.ha
2
Sтрапеции = 0,5.(a + b) = ch (c средняя линия)
Преобразования на плоскости.
Осевая симметрия движение при котором сохраняется расстояние.
Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)
Центральная симметрия движение относительно точки,
при котором сохраняется расстояние
ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)
Параллельный перенос (П[вектор]
Поворот R[угол][точка]
Гомотетия увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]
Правила действия над тригонометрическими функциями.
г==============================T==============================¬
¦y=Sin a функция ограниченная ¦y=Cos a функция ограниченная ¦
¦ + ¦ + ¦ ¦ + ¦
¦1 , Sin a , 1 + ¦1 , Cos a , 1 + ¦
¦ ¦ ¦ ¦ + ¦
¦==============================¦==============================¦
¦y=tg a ; y=Ctg a неограниченные функции ¦
¦ ¦ + ¦
¦ + ¦
¦ + ¦ ¦
L=============================================================
360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению
p p p её радианного измерения на ра
60 = ; 45 = ; 30 = диус
3 4 6
Cокружности = 2pR
Основные тригонометрические тождества:
q 1.Sin2a + Cos2a = 1
Sin a Cos a
2.tg a = ; Ctg a =
Cos a Sin a
3.tg a * Ctg a = 1
1 1
4.1 + tg2a = ; 1 + Ctg a =
Cos2a Sin2a
Правило формул превидения
Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти.
Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то
функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра
то функция меняется на созвучную.( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a)
T¬
¦Cos(ab) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb Sina*Sinb¦
+++
¦Sin(ab) = Sina*Cosb Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦
+T+T
¦ tg a tg b ¦ tg a + tg b ¦
¦tg(ab) = ¦ tg(a+b) = ¦
¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 tga*tgb ¦
++T+¬
¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb 1 ¦
¦Ctg(ab) = ¦ Ctg(a+b) = ¦
¦ Ctg a ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦
+T+T
¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a Sin2a ¦
+T+T
¦ 2*tg a ¦ Ctg2a 1 ¦
¦tg 2a = ¦ Ctg 2a = ¦
¦ 1 tg2a ¦ 2*Ctg a ¦
L+
Sin a * Cos b = 0,5*[Sin(ab) + Sin(a+b)]
Sin x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(xy)
Sin x Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(xy)
Cos x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(xy)
Cos x Cos y = 2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(xy)
Cos a * Cos b = 0,5[Cos(ab) + Cos(a+b)]
Sin a * Sin b = 0,5[Cos(ab) Cos(a+b)]
T¬
¦ Sin(xy) ¦ Sin(x+y) ¦
¦tg x tg y = ¦ tg x + tg y = ¦
¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦
++T+
¦ Sin(xy) ¦ Sin(x+y) ¦
¦Ctg x Ctg y = ¦ Ctg x + Ctg y = ¦
¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦
L+
Sin 3x = 3Sin x 4Sin3x 2tg x
Cos 3x = 4Cos3x 3Cos x Sin 2x =
/1 + Cos 2x 2tg2x + 1
¦Cos x¦ = /
? 2 . 1 + tg2x
/1 Cos 2x Cos 2x =
¦Sin x¦ = / 1 tg2x
? 2 .
/ 1 Cos 2x 2tg x
¦tg x¦ = / tg 2x =
? 1 + Cos 2x 1 tg2x
1. Решение тригонометрических уравнений.
Sin x = m ==> x = (1)n7arcsin m + pn, n Z.
Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.
tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.
ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.
2. Равенство одноименных функций.
Sin t = Sin a ==> t = (1)ka + kp, k Z.
Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.
tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z.
3. Универсальная подcтaновка.
t t
2tg 1 tg2
2 2 t
Sin t = ; Cos t = ; tg = Z.
t t 2
1 + tg2 1 + tg2
2 2
4. Функции кратных аргументов.
¦ Cos2x = Cos2x Sin2x.
(a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦
¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.
L
¦ Cos3x = Cos3x 3Cosx7Sin2x.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦
¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx Sin3x.
L
¦ Cos4x=Cos4x6Cos2x7Sin2x+Sin4x.
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦
¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx4Cosx7Sin3x.
L
5. Дополнительно.
Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) Cos(n1)x.
Sin 5a = 16Sin5a 20Sin3a + 5Sina.
Sin 7a = 64Sina7 + 112Sin5a 56Sin3a + 7Sina =
= Sina7(64Cos6a 80Cos4a + 24Cos2a 1).