Учебная работа № 1077. Справочник по геометрии (79 класс)

Учебная работа № 1077. Справочник по геометрии (79 класс)

Выполнил:

ученик9А класса

средней школы № 135

Матвеев Евгений.

Руководитель проекта:

О черетина Т.В.

Казань 2004 г.

7 класс.

Глава I .

Точки, прямые, отрезки.

Через любые две точки Если две прямые имеют общую

можно провести прямую, точку, то они пересекаются.

и притом только одну.

Прямая а и точки А и В.

Прямая а и b пересекаются в точке О.

Две прямые либо имеют только одну общую точку,

либо не имеют общих точек.

Угол.

Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны

исходящих из этой точки. лежат на одной прямой.

Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С

и сторонами p и q.

Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º .

Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая

делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие

называется биссектриса угла. являются продолжениями одна

другой, называются смежными.

Два угла, называются вертикальными,

если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.

продолжениями сторон другого.

Две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными,

если они образуют 4 прямых угла.

Глава I I.

Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, Р АВС = АВ+ВС+СА.

котая состоит из 3 точек, не лежа

щих на 1 прямой, соединённых отрезками.

В равных треугольниках против

Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон

Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против

соответственно равных равных

углов лежат равные стороны.

Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа

между ними 1го треугольника щей на прямой, можно провести

соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом

и углу между ними другого только один.

треугольника, то треугольники равны.

Отрезок, соединяющий вершину треуг Отрезок бисссы угла треугка,

ка с серединой противоположной сто соединяющий вершину треугка

роны, называется медианой треугка. с точкой противоположной сторо ны, называется бисссой треугка.

Перпендикуляр, проведённый из верши

ны треугка к прямой, содержащей Треугк, у котго 2 стороны равны,

противоположную сторону, называ называется равнобедренным.

ется высотой треугка.

Теорема: В равнобедренном треугке

ВН высота треугка АВС. углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треугка, про

треугке биссса, проведённая ведённая к основанию, является медианой

к основанию, является и бисссой.

медианой и высотой.

Медиана, проведённая к основанию, явля

ется высотой и бисссой.

Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го

прилежащих к ней угла 1го треугка соответственно равны 3ём

треугка соответственно рав сторонам другого треугка, то такие

ны стороне и 2 прилежащим к треугки равны.

ней углам другого треугка, то

такие треугки равны.

Определение: Окружность называется геометрая фигура, состоящая из всех точек, расположых на заданном расснии от данной точки.

Глава I I I.

Параллельные прямые.

Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря

на плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав

если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении 2 пря

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересече Теорема: Если две параллельные пря

нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест

односторонних углов равна лежащие углы равны.

180º, то прямые параллельны.

Теорема: Если две прямые пересечены

Теорема: Если две парал секущей, то сумма односторонних углов

лельные прямые пересечены равна 180º.

секущей, то соответствен

ные углы равны.

Глава IV.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника.

Теорема: Сумма углов Внешний угол треугка = сумме двух углов тре

треугка = 180º. угка, не смежных с ним.

В любом треугольнике либо Теорема: В треугке против большей сто

все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего

два угла острые, а третий угла лежит большая сторона.

тупой или прямой.

В прямоугольном треуг ке гипотенуза Если два угла треугка равны, то больше катета. треугк – равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на

треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства:

2 других сторон. АВ< AB + BC , ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.

Сумма двух острых углов пря Катет прямоугольного треугка, лежащий

моугольного треугка = 90º . против угла в 30º , равен ½ гипотенузы.

Если катет прямоугольного треуг Если катеты 1го прямоугольного треуг

ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа ка соответственно = катетам другого

щий против этого катета, = 30º . , то такие треугки равны.

Если катет и прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый

острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треугка соот

треугка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро

катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треугки равны. острому углу другого, то такие

треугольники равны. Теорема: Если гипотенуза и катет 1го

прямоугольного треугка соответствен

Теорема: Все точки каж но равны гипотенузе и катету другого,

дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны.

равноудалены от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до

другой прямой называется прямой называется расстоянием между

этими прямыми.

8 класс.

Глава V .

Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n угольника В параллелограмме противоположные

= ( n 2)180º. стороны равны и противоположные

углы равны.

Диагонали параллелограмма точ

кой пересечения делятся пополам. Если в 4угольнике 2 стороны равны и

параллельны, то этот 4угольник – па

раллелограм.

Если в 4угольнике противопо

ложные стороны попарно равны, Если в 4угольнике диагональю пересе

то этот 4угольник – параллело каются и точкой пересечения делятся

грамм. пополам, то этот 4угольник – парал

лелограмм.

Трапецией называется 4угольник,

у котго 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал

2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у котго все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,

то этот параллелограмм – прямоуголь

Ромбом называется параллело ник.

грамм, у котго все стороны

равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр

ны и делят его углы пополам.

Квадкатом называется прямо

угольник, у котго все стороны Все углы квадрата равны.

равны.

Диагонали квадрата равны, взаимно

Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения

относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы

каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам.

ей точка относительно прямой а

также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.

Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет

относительно точки О, если для рии фигуры.

каждой точки фигуры симметрич

ная ей точка относительно точки О

также принадлежит этой фигуре.

Глава VI .

Площадь.

Равные многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S .

Если многоугольник составлен из Теорема: S прямоугольника = про

нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.

Его S = сумме площадей этих

многоугольников. Теорема: S параллелограмма = про

изведению его основания на высоту.

Теорема: S треугольника =

= произведению его основания S прямоугольного треугольника = 1/2

на высоту. произведения его катетов.

Если высоты 2ух 3угольников Теорема: Если угол 1го 3угольника

равны, то их S относятся равен углу другого 3угольника, то S

как основания. этих 3угольников относятся как про

изведения сторон, заключающих равные

Теорема: S трапеции = про углы.

изведению полусуммы её осно

ваний на высоту. Теорема: В прямоугольном 3угольни

ке квадрат гипотенузы = сумме квадра

Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов.

стороны 3угольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

3угольник прямоугольный.

Глава VII .

Подобные треугольники.

Определение: 2 3угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб

называются подобными, если их ных 3угольников = квадрату коэф

углы соответственно равны и фициента подобия.

стороны 1го 3угольника про

порционально сходственны Теорема: Если 2 угла 1го 3уголь

сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам

другого, то такие 3угольники по

Теорема: Если 2 стороны 1го добны.

3угольника пропорциональны 2ум

сторонам другого 3угольника и углы, заключённые между этими сторо

нами, равны, то такие 3угольники подобны.

Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель

3угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой

3ём сторонам другого, то такие стороны.

3угольники подобны.

sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3уголь

3угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета

противолежащего катета к к гипотенузе.

гипотенузе.

tg угла = отношению sin к cos

tg острого угла прямоугольного этого угла: tg = sin / cos .

3угольника – отношение противо

лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое

тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного sin ² α+ cos ² α=1.

3угольника = острому углу другого прямо

угольного 3угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

x	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °	180 °	270 °	360 °
sinx	0	1/2	2/2	3/2	1	0	1	0
cosx	1	3/2	2/2	1/2	0	1	0	1
tgx	0	1/ 3	1	3	—	0	—	0
ctgx	—	3	1	1/ 3	0	—	0	—
0	П /6	П/4	П/3	П/2	П	3П/2	2П

Глава VIII .

Окружность.

Если расстояние от центра окруж Если расстояние от центра окруж

ности до прямой < радиуса, то пря ности до прямой = радиуса, то пря

мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.

Если расстояние от центра окруж Теорема: Касательная к окруж

ности до прямой > радиуса, то пря ности перпендикулярна к r , прове

мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.

точек.

Теорема: Если прямая проходит

Отрезки касательных к окружнос через конец r , лежащий на окруж

ти, проведённые из 1ой точки, рав ности, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы с r , то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ

ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж Если дуга АВ окружности с центром

ности — её центральный угол. О < полуокружности или является

полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок мера считается равной градусной

ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её

градусная мера считается =

Угол, вершина котго лежит на = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе

кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряя

вписанным углом. ется ½ дуги, на котую он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.

Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не совпадает со сторона же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу

окружность, прямой.

Теорема: Если 2 хорды ок Теорема: Каждая точка бисссы

ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле

хорды = произведению отрез жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисссе.

Бисссы 3угольника пересека Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через

середину отрезка и перпендикулярная

Теорема: Каждая точка се к нему.

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо

этого отрезка. Каждая точка, нам 3угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез точке.

ка, лежит на серединном перпен

дикуляре. Теорема: в любой 3угольник мож

но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3угольника

(или их продолжения) пересека В 3угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке. окружность.

Теорема: Около любого треу В любом вписанном 4угольнике сумма

гольника можно онисать окруж противоположных углов = 180°.

ность.

Если сумма противоположных углов 4угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Глава IX .

Векторы.

Физические величины, характери Определение: Отрезок, для кот

зуещиеся направлением в прост го указано, какой из его концов счи

ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,

называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар Если 2 вектора направлены противопо

ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра

влены.

Определение: Векторы,

называются равными, если От любой точки М можно отложить

они сонаправлены и их дли вектор, равный данному вектору ã, и

ны равны. притом только один.

Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

1. ă + č = č + ă (переместительный закон);

2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).

Теорема: Для любых векто Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.

ă – č = ă + ( č ).

Для любого числа k и любого векто ( kl )ă= k ( l ă ) (сочетательный закон);

ра ă векторы ă и k ă коллинеарны. ( k + l )ă= k ă+ l ă(1ый рспредный закон);

k (ă+č )= k ă+ k č.

Теорема: Средняя линия тра

пеции параллельна основаниям

и = их полусумме.

9 класс.

Глава X .

Метод координат.

Лемма: Если векторы ă и č Теорема: Любой вектор можно раз

коллинеарны и ă=0, то сущес ложить по 2ум данным неколлинеар

твует такое число k , что č= k ă. ным векторам, причём коэффициен

ты разложения определяются един

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме соответству

ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век

тора на число = произведению соот

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот на это число.

ветствующих координат век

тора на это число. Координаты точки М = соответству

ющим координатам её радиусвектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко

ординат его концов.

Глава XI .

Соотношения между сторонами

и углами 3угольника.

Скалярное произведение

векторов.

Для любого угла α из промежут tg угла α(α=90°) называется отношение

ка 0° <α<180° sin угла α называ sin α/ cos α.

ется ордината у точки М, а cos

угла α – абсцисса х угла α. sin (90° α)= cos α

Теорема: S 3угольника = ½ Теорема: Стороны 3угольника про

произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих

sin угла между ними. углов.

Теорема: Квадрат стороны 3угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а² = b ² +с² 2 b с cos α.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра

векторов называется произве ту его длины.

дение их длин на cos угла между

ними.

Теорема: Скалярное произведение векторов а( х₁ ; у₁ ) и b ( х₂ ; у₂ ) выражается формулой:

ab =х₁ х₂ +у₁ у₂ .

Нулевые векторы а( х₁ ; у₁ ) и cos угла а между нулевыми векторами

b ( х₂ ; у₂ )перпендикулярны а( х₁ ; у₁ ) и b ( х₁ ; у₁ ) выражается формулой:

тогда и только тогда, ког cos α=х₁ х₂ +у₁ у₂ / х₁ +у₁ х₂ + у₂ .

да х₁ х₂ + у₁ у₂ = 0.

Для любых векторов а, b , с и любого числа k справедливы соотношения:

а² >0, причём а² >0 при а=0.

а b = b а (переместительный закон).

( а+ b )с=ас+ b с (распределительный закон).

( k а ) b = k ( ab ) (сочетательный закон).

Учебная работа № 1077. Справочник по геометрии (79 класс)