(3 оценок, среднее: 4,67 из 5)
Загрузка...
Учебная работа № 1074. Интегральное исчисление. Исторический очерк
.
Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.
Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.
Метод исчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.
Типичная схема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом. Для определения величины A строилась некоторая последовательность величин С1, С2, …, Сn, … такая, что
Предполагалось также известным такое B, что
и что для любого целого K можно найти достаточно большое n, удовлетворяющее условию:
Где D – постоянно. После громоздких рассуждений из последнего выражения удавалось получить:
Как видно из приведённой схемы метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т.п., обозначенных последовательностью С1, С2, …, Сn, …). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод.
Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона , Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положивших основу современного математического анализа.
В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.
В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.
Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером.
В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти достаточно общие, а, главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального счисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.
Трудно найти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. ВандерВарден пишет в своей книге “Пробуждающаяся наука”: “Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самим значительным н наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько. что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно рационализм XVIII века, обожествление разума, упадок религии… Кто отдает себе отчет в том, спрашивает автор, что с исторической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой XVII века?”
Исаак Ньютон родился в 1643 году. Мальчик посещал сначала сельскую школу, а в двенадцать лет его отправили учиться в ближайший город. Директор школы обратил внимание на способного мальчика и уговорил мать Ньютона отправить сына учиться в Кембриджский университет. Ньютон был принят туда в качестве бедного студента, обязанного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов.