Учебная работа № 1615. Поверхности второго порядка

Учебная работа № 1615. Поверхности второго порядка

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

1°. Эллипсоид.

2°. Однополостный гиперболоид.

3°. Двуполостный гиперболоид.
4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

1°. Однополостный гиперболоид.

2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

1°. Эллиптический параболоид.
2°. Гиперболический пара­болоид.

4 . Конус и цилиндры второго порядка.

1°. Конус второго порядка.
2°. Эллиптический цилиндр.
3°. Гиперболический цилиндр.
4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² +2a ₁₂ xy +2 a ₂₃ уz + 2a ₁₃ xz + 2а ₁₄ x + 2а ₂₄ у+2а ₃₄ z +а ₄₄ = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а ₂₂ , a ₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка .

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второгопорядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁ х² + а ₂₂ у² +a ₃₃ z² + а ₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а ₂₂ • a ₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

1°. Коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, а коэффициента ₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ противоположен знаку коэффициента а ₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида .

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.

2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом .

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а ₂₂ >0, a ₃₃ <0,а ₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а ² , b² , с² . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида .

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его глав­ными осями.

3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ , а ₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а ₂₂ <0, a ₃₃ >0,а ₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a² , b² , с² . Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида .

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4° . Коэффициент а ₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .

Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а ₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a₁₁ ,а ₂₂ , a ₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а ₂₂ > 0,a ₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а² , b² , с² . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка .

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI ₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁ х ´ ² + а ´₂₂ у ´ ² +a´ ₃₃ z´ ² + 2а ´ ₁₄ x´ + 2а ´ ₂₄ у ´ +2а ´ ₃₄ z´ +а ´ ₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I ₃ =0 и его значение, вы­численное для уравнения (7), равно

a´₁₁ • а ´₂₂ • a´ ₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а ´₂₂ , a´ ₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

Учебная работа № 1615. Поверхности второго порядка