Учебная работа № 1663. Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
(1) |
Если последовательность {
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
(2) |
называются неподвижными.
Величина
nцикл, содержащий
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра
(3) |
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
(3.1) |
Рис.1 |
Или в таком виде: Расстояния
Константы Фейгенбаума имеют значения |
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: всетаки в то время он работал в ЛосАламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. «волшебные» числа
Алгоритм
Интересно, что точки
(a) | Например, для цикла периода два: |
(5.1) |
(б) | Цикл периода четыре: |
(5.2) |
Для произвольных же
(6) |
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра
(6.1) |
Здесь i номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы
НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:
Итерируем производную функции начиная с
Начальные приближения двух значений параметра R:
Разумное начальное приближение для постоянной :
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1:
При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как
ПРИМЕР 2:
ПРИМЕР 3:
Программу расчета константы
i | |
1 | 6.9032539091… |
2 | 4.7443094689… |
3 | 4.6744478277… |
4 | 4.6707911502… |
5 | 4.6694616483… |
6 | 4.6692658098… |
… | … |
11 | 4.66920173800930… |
Список литературы
[1] Г.Шустер, «Детерминированный хаос. «, М:Мир, 1988
[2] K.Briggs «Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems», PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, «Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм», УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, «Универсальность в поведении нелинейных систем», УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, «Численные методы», М:Наука, 1978
[6] Метод Ньютона