Учебная работа № 2094. Система ЛоткаВольтерра
Вариант № 7
Задание:
1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1. Вводим новые переменные x Ax, y By, t Tt и переписываем систему:
2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)
2.2
P
2.3
Q
3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы
3.1
3.2
3.3
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений
а) точка О – сток, как было показано выше;
б) точка Р
Область 1:
Область 2:
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3:
Точка Р – седло
в) точка Q
Область 1:
Область 2:
Область 3:
Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение
Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении
Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:
\Область Точка |
1 | 2 | 3 | 3 – 3’ |
O | сток | сток | сток | сток |
P | не сущ. | исток | седло | седло |
Q | не сущ. | не сущ. | исток | неуст. фокус |
4.1 Параметрические области системы
4.2 Область 1:
4.3 Область 2:
4.3 Область 3’ :
4.5 Область 3 – 3’ :
5. Биологическая интерпретация модели.
Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).