Учебная работа № 2078. Может ли энергия быть отрицательной?

Учебная работа № 2078. Может ли энергия быть отрицательной?

Н.К. Гладышева, ИОСО РАО, школа № 548, г. Москва

Этот вопрос в так называемых стабильных учебниках никогда специально подробно не рассматривался. Считалось, что он слишком сложен для учеников средней школы. В то же время «по умолчанию» ученики (да нередко и учителя) полагают, что энергия может быть только положительной величиной. Это приводит к недоразумениям при анализе преобразования энергии в различных процессах. Например, как объяснить, что при кипячении воды вся сообщаемая веществу энергия идет на испарение, при этом средняя кинетическая энергия движения частиц не меняется, а энергия взаимодействия частиц становится равной нулю? Куда же исчезает энергия, поступающая от нагревателя? Таких примеров можно привести много. Но целесообразнее не умалчивать, что энергия взаимодействия тел может быть как положительной, так и отрицательной. Трудности в понимании этого положения надуманные. Ведь даже ученики начальных классов понимают, что температура окружающего воздуха может быть как положительной, так и отрицательной величиной! Более того, школьники достаточно легко воспринимают существование наряду со шкалой Кельвина других температурных шкал (Цельсия, Фаренгейта, Реомюра). Таким образом, идея, что численное значение какойто физической величины зависит от условно выбираемого начала ее отсчета, не является непостижимой для старшеклассника.

Выбор начала отсчета потенциальной энергии

Покажем, как объяснить ученикам, что при изучении механических явлений во многих случаях удобно выбрать уровень отсчета потенциальной энергии так, что она будет иметь отрицательное значение.

Анализ преобразования энергии подразумевает более детальное знакомство учащихся с ее формами. В любом учебнике сообщается, что тело массой m, движущееся относительно выбранной системы отсчета с какойто скоростью v, обладает в этой системе кинетической энергией Eкин = mv2/2. Если же в какойто системе отсчета тело неподвижно, то его кинетическая энергия равна нулю. Поэтому кинетическую энергию тела называют энергией движения. В отличие от других характеристик движения, таких, как скорость v или импульс p = mv, кинетическая энергия не связана с направлением движения. Она является скалярной величиной. Целесообразно предложить ученикам самостоятельно показать, что кинетическая энергия тела и системы тел не может быть отрицательной величиной.

Природа потенциальной энергии может быть совершенно различной. В случае с математическим маятником (материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l) она связана с притяжением груза маятника Землей. Именно это гравитационное взаимодействие уменьшает скорость груза при его движении вверх. В случае с теннисным мячом, ударяющимся о стенку, потенциальная энергия связана с деформацией мяча. Общее же у энергии взаимодействия груза с Землей и энергии деформации то, что такая энергия может преобразовываться в кинетическую энергию и обратно.

Однако далеко не все процессы обратимы. Например, при ударе молотка по кусочку свинца кинетическая энергия молотка вроде бы исчезает бесследно – молоток почти не отскакивает после удара. В данном случае происходит преобразование кинетической энергии молотка в теплоту и последующая ее необратимая диссипация.

Подробнее рассмотрим понятие потенциальной энергии. Природа потенциальной энергии различна, поэтому нет единой формулы для ее вычисления. Из всех видов взаимодействия мы чаще всего встречаемся с гравитационным взаимодействием Земли и тел, находящихся вблизи ее поверхности, поэтому в первую очередь следует остановиться на обсуждении особенностей гравитационного взаимодействия.

Какова формула для расчета потенциальной энергии взаимодействия Земли с находящимися вблизи ее поверхности телами? Ответ подсказывают колебания маятника. Обратите внимание (рис. 1): точки В, в которых кинетическая энергия полностью преобразуется в скрытую (потенциальную) форму, и точка А,

где кинетическая энергия маятника полностью восстанавливается, лежат на разной высоте над поверхностью Земли. Еще Гюйгенс выяснил, что высота h подъема маятника до точки В пропорциональна квадрату его скорости v2макс в нижней точке А. Лейбниц оценивал величину скрытой (потенциальной) энергии в точках В по массе m груза маятника и высоте h его подъема при колебаниях. Точные измерения максимальной скорости vмакс и высоты h показывают, что всегда выполняется равенство:

где g  10 Н/кг = 10 м/с2. Если в соответствии с законом сохранения энергии считать, что вся кинетическая энергия маятника преобразуется в точках В в энергию гравитационного взаимодействия его груза с Землей, то энергию этого взаимодействия нужно рассчитывать по формуле:

Еп = mgh.

В этой формуле скрыто условное соглашение: положение взаимодействующих тел, при котором энергия их взаимодействия Еп условно считается равной нулю (нулевой уровень), выбирается так, что в этом положении высота h = 0. Но при выборе нулевого уровня физики руководствуются только стремлением предельно упростить решение задачи. Если по какимто соображениям удобно считать, что потенциальная энергия равна нулю в точке на высоте h0  0, то формула для потенциальной энергии принимает вид:

Еп = mg(h – h0).

Рассмотрим падение камня со скалы (рис. 2). Необходимо определить, как изменяется кинетическая энергия Ек камня и потенциальная энергия Еп его взаимодействия с Землей по мере падения. Предположим, что на краю скалы (точка А) скорость камня равна нулю.

При падении камня его трение о воздух невелико, поэтому можно считать, что нет диссипации энергии и перехода ее в теплоту. Следовательно, согласно закону сохранения энергии при падении камня не меняется сумма кинетической и потенциальной энергии системы тел Земля + камень, т.е.

(Ек + Еп)|B = (Ек+Е0)|A.

Отметим следующее.

1. Согласно условию задачи в точке А скорость камня равна нулю, поэтому Ек| A = 0.

2. Нулевой уровень потенциальной энергии взаимодействия камня с Землей удобно выбрать так, чтобы предельноупростить решение задачи. Поскольку указана только одна фиксированная точка – край скалы А, – то разумно принять ее за начало отсчета и положить Еп| A = 0. Тогда полная энергия (Ек + Еп)|A = 0. Следовательно, в силу закона сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергий камня и Земли остается равной нулю во всех точках траектории:

(Ек + Еп)|B = 0.

Сумма двух ненулевых чисел равна нулю только при условии, что одно из них отрицательное, а другое – положительное. Мы уже отмечали, что кинетическая энергия не может быть отрицательной. Поэтому из равенства (Ек + Еп)|B = 0 следует, что потенциальная энергия взаимодействия падающего камня с Землей является величиной отрицательной. Это связано с выбором нулевого уровня потенциальной энергии. За нулевую точку отсчета координаты h камня мы приняли край скалы. Все точки, через которые пролетает камень, лежат ниже края скалы, и значения координат h этих точек лежат ниже нуля, т.е. они отрицательны. Следовательно, согласно формуле Еп = mgh отрицательной должна быть и энергия Еп взаимодействия падающего камня с Землей.

Из уравнения закона сохранения энергии Ек + Еп = 0 вытекает, что на любой высоте h вниз от края скалы кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

Ек = –Еп = –mgh

(при этом следует помнить, что h – отрицательная величина). Графики зависимости потенциальной энергии Еп и кинетической энергии Ек от координаты h показаны на рис. 3.

Нелишне тут же разобрать и случай, когда камень подбрасывается вверх в точке А с некоторой вертикальной скоростью v0. В начальный момент кинетическая энергия камня Eк = mv02/2, а потенциальная энергия, по соглашению, равна нулю. В произвольной точке траектории полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий mv2/2 + mgh. Закон сохранения энергии записывается в виде:

mv02/2 = mv2/2 + mgh.

Здесь h может иметь как положительные, так и отрицательные значения, что соответствует движению камня вверх от точки бросания или падению ниже точки А. Таким образом, при определенных значениях h потенциальная энергия положительна, а при других – отрицательна. Этот пример должен показать учащемуся условность приписывания потенциальной энергии определенного знака.

После знакомства учащихся с приведенным выше материалом, целесообразно обсудить с ними следующие вопросы:

1. При каком условии равна нулю кинетическая энергия тела? потенциальная энергия тела?

2. Объясните, соответствует ли закону сохранения энергии системы тел Земля + камень график на рис. 3.

3. Как меняется кинетическая энергия подброшенного мяча? Когда она уменьшается? увеличивается?

4. Почему при падении камня его потенциальная энергия оказалась отрицательной, а при скатывании мальчика с горки ее считают положительной?

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле

Следующий шаг предполагает знакомство учеников с потенциальной энергией тела в поле тяготения. Энергия взаимодействия тела с гравитационным полем Земли описывается формулой Еп = mgh только в том случае, если гравитационное поле Земли можно считать однородным, не зависящим от координат. Гравитационное поле определяется законом всемирного тяготения:

где R – радиусвектор, проведенный от центра масс Земли (принятого за начало отсчета) до данной точки (напомним, что в законе тяготения тела считаются точечными и неподвижными). По аналогии с электростатикой можно записать эту формулу в виде:

Fтяг = m1g,

и назвать вектором напряженности гравитационного поля в данной точке. Ясно, что это поле изменяется с расстоянием от создающего поле тела. Когда же можно считать гравитационное поле с достаточной точностью однородным? Очевидно, это возможно в области пространства, размеры которой h много меньше расстояния до центра поля R. Иными словами, если вы рассматриваете падение камня с верхнего этажа дома, можно спокойно пренебречь разницей в значении гравитационного поля на верхнем и нижнем этажах. Однако, изучая движение планет вокруг Солнца, нельзя считать, что планета движется в однородном поле, и следует пользоваться общим законом тяготения.

Можно вывести общую формулу потенциальной энергии гравитационного взаимодействия тел (но не просить учеников воспроизводить этот вывод, хотя окончательную формулу они, конечно, должны знать). Например, рассмотрим два точечных неподвижных тела массами m1 и m2 , расположенные на расстоянии R0 друг от друга (рис. 4). Обозначим энергию гравитационного взаимодействия этих тел через Еп0. Предположим далее, что тела немного сблизились до расстояния R1. Энергия взаимодействия этих тел стала Еп1. Согласно закону сохранения энергии:

Еп = Еп1 – Еп0 = Fтяг. ср s,

где Fтяг. cр – величина средней силы тяготения на участке s = R1 – R0 перемещения тела в направлении силы. По закону всемирного тяготения величина силы есть:

поэтому

Если расстояния R1 и R0 мало отличаются друг от друга, то можно заменить расстояние Rср2 произведением R1R0. Тогда:

В этом равенстве Еп1 соответствует ,соответствует . Таким образом:

Мы получили формулу, которая указывает на две особенности потенциальной энергии гравитационного взаимодействия (ее еще называют энергией тяготения):

1. В самой формуле уже заложен выбор нулевого уровня потенциальной энергии тяготения, а именно: энергия гравитационного взаимодействия тел обращается в нуль, когда расстояние между рассматриваемыми телами бесконечно велико. Обратите внимание, что такой выбор нулевого значения энергии гравитационного взаимодействия тел имеет наглядную физическую интерпретацию: при бесконечно большом удалении тел друг от друга они практически перестают гравитационно взаимодействовать.

2. Поскольку любое реальное расстояние, например между Землей и ракетой, конечно, энергия гравитационного взаимодействия при таком выборе начала отсчета всегда отрицательна.

На рис. 5 приведен график зависимости энергии гравитационного взаимодействия ракеты с Землей от расстояния между центром Земли и ракетой. Он отражает обе особенности энергии тяготения, о которых мы говорили: показывает, что эта энергия отрицательна и возрастает к нулю при увеличении расстояния между Землей и ракетой.

Энергия связи

Полученные учениками знания о том, что энергия может быть как положительной, так и отрицательной величиной, должны найти свое применение при изучении энергии связи частиц вещества в разных его агрегатных состояниях. Например, школьникам можно предложить следующие качественные рассуждения.

Мы уже убедились, что частицы вещества всегда хаотично движутся. Именно наделив частицы способностью к такому движению, мы смогли объяснить целый ряд явлений природы. Но тогда почему не разлетаются на отдельные частицы столы и карандаши, стены домов и мы сами?

Приходится предположить, что частицы вещества взаимодействуют, притягиваются друг к другу. Только достаточно сильное взаимное притяжение частиц способно удерживать их друг около друга в жидкостях и твердых телах, не давать им быстро разлетаться в разные стороны. Но почему тогда не удерживаются друг около друга частицы в газах, почему они разлетаются? Повидимому, в газах взаимосвязь частиц недостаточна для их удержания.

В механике для оценки взаимодействия (связи) тел мы использовали такую физическую величину, как потенциальная энергия взаимодействия. В кинетической теории вещества связь частиц вещества характеризуется энергией их взаимодейств

Учебная работа № 2078. Может ли энергия быть отрицательной?