Учебная работа № 2053. Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Учебная работа № 2053. Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1.Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m×n чисел – элементов мцы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы:

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой мцы. Набор a1j, a2j, amj – jтым столбцом.

Мца размером 1хп – называется строкой, вектором; мца размером mx1 – столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ мцы. Набор а1п, а1,п1, ап1 – побочную диагональ. Мца все элты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная мца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

2.Действия с матрицами

1) Сложение

Суммой мц А(I,j) и B(I,J) наз. мца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех мц: mxn)

2) умножение мцы на число

Произведение мцы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С×Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С×А

вычитание:

С=А+()В = АВ

3) умножение мц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные мцы порядка n. Произведением А на В называют мцу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1×B1j+… Ain×BnJ

С=АВ. Можно записать так:

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Свва умножения мцы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

3.Порядки суммирования. Транспонирование мцы

Сумму Н всех элементов квадратной мцы А можно вычислить 2 мя способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

отсюда вытекает, что

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

называется транспонированной по отношению к мце А=

Обозначается А^Т . При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то А^Т будет размером nxm

Свва операции транспонирования.

1 (А^Т )^Т =А

2 (А+В)^Т =А^Т +В^Т

3 (СА)^Т =СА^Т (Счисло)

4 (АВ)^Т =А^Т ×В^Т

4.Элементарные преобразования матрицы.

1 Переставление двух строк

2 Умножение строки на не равное 0 число В

3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

Также производят элементарные преобразования столбцов.

5.Матрицы элементарных преобразований.

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

1 мцы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например мца:

получена перестановкой 2 и 4 строки

2 тип. мцы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке

3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:

Основное свво матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой мцы на матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк мцы А

1 умножение мцы А на мцу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j

2 Умножение мцы А на мцу второго типа слева равносильно умножению j строки мцы А на число В

3 прибавление к jстороке мцы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению мцы А на мцу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов мцы А

1 умножение мцы А на мцу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j

2 Умножение мцы А на мцу второго типа справа равносильно умножению j столбца мцы А на число В.

3 прибавление к j столбцу мцы А ее I того столбца, умноженного на число С равносильно умножению мцы А на мцу 3 типа справа.

6.Определители

С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

Определителем мцы второго порядка:

наз число: а11×а22а12×а21

Определитель мцы третьего порядка:

=

=

также можно восп правилами треугольника:

Предположив, что определитель мцы порядка меньше n уже известен, определитель мцы порядка n будет равен:

D= a11×M11a21×M21+…+(1)ⁿ⁺¹ ×an1×Mn1

где Мi1 – определитель мцы порядка n1, это число называется дополнительным минором. Подобная мца получается из А путем вычеркивания 1 столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому столбцу.

число: Аij=(1)^{I +1} ×Mij называется алгебраическим дополнением элта аij в определителе [А] с учетом алгебр. доп флу нахождения определителя можно записать так:

Определитель – сумма попарных произведений элтов произвольного столбца на их алгебраический дополнитель.

Свойства определителя

1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [A^T ]=[А]

отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств определителя.

2 Линейность

Если в определителе DI является линейной комбинацией 2х строк:

тогда D=fD’+lD’’

где:

отличаются от D только Iтыми строками.

3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой строк, то В* = В

4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число

6 определитель с 0 строкой = 0

7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по свву 4)

8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

9 Сумма произведения элтов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр = 0

8. Обратная матрица

Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

Мца В, полученная из невырожд мцы А по правилу:

В позицию ij мцы В помещается число = алгебраическому дополнению мцы Aji, элта аji в мце А.

Мца В наз. союзной или присоединенной к мце А и обладает следующими сввами:

АВ=ВА=[А]I (Iединичная матрица)

Матрица А¹ =1/[А]В называется обратной мце А. Отсюда вытекает равенство:

АА¹ =I, А¹ А=I

Мцу А1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I, где неизвестная матрица.

Произвольную невырожденную мцу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице

1 Привести к треугольному виду

2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п1 строке последнюю умноженную на –а1п, а2п…ап1п, приводится к матрице у которой все элты пного столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

2 метод построения обратной мцы путем составления расширенной матрицы (метод Жордана)

1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную матрицу I того же порядка т. е. получаем мцу (А|I) элементарными преобр строк мца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному, полученаая на месте I мцы мцы С – является обратной исходной матрице А

15. Понятия связанного и свободного векторов.

Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим направленный отрезок АВ, а если т. В начало, а т. А – конец, то направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм. Поэтому равные связанные вры имеют равные длины.

Свва связанных вров:

1 Каждый связанный вр равен самому себе АВ=АВ

2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

От каждой точки можно отложить связанный вр равный исходному.

Свободные вры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно. или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Свободный вр однозначно определяется заданием связанного вра АВ.

Обоз свободные вры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нульвектор обоз 0 со стрелкой.

Если задан вр а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция построения связанного вра АВ, для которой выполнено это равенство называется откладывание свободного вра а от т. А. Связанные вры, полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют одинаковую длину. Длина свободного вра а обоз |f|, длина нульвра=0, Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

16. Линейные операции над врами

1 сложение вров

Пусть даны вры: а и в

от т. О отложим вр ОА=а, от полученной т. А отложим вр АВ=в. Полученный в результате вр ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение вров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.

Сложение вров ассоциативно, т. е. для любых вров а, в, с вып равво:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение вра на число

Свободные вра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные вры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные вры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае вры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если вры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением вра а на число С наз вр в, такой, что

1 длина его |b|=|C|×|a|

2вры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.: Обозн в=С×а. При С=0 положим, что Са=0.

Свва умножения

1 (С+Д)×а=С×а+Д×а

2 С×(Д×а)=(С×Д)×а

3 С×(а+в)=С×а+С×в (Си Д любые дейст. числа, а и в – вры)

Вр, длина которого = 1 называется единичным вром или ортом и обоз а0, его длина |a0|=1

Если а ¹ 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный вр (орт) направления вра а.

Противоположный вр (а) –а || а, противоположно направлен вру а

а+(а)=0; а= (1)×а

3 вычитание вров

разностью вров а и в наз вр с, такой, что в+с =а

а уменьшаемый, в вычитаемый, с разность.

1 разность вров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на врах а и в, направленная в сторону уменьшаемого вра.

Пусть а и в ненулевые вры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между врами а и в наз. наименьший угол между врами ОА и ОВ

Если угол между а и в = П/2 эти вры наз ортогональными.

17. Координаты и компоненты вра

Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными врами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.

Найдутся числа x,y,z, для которых:

а = xi+yj+zk (2) Эта фла наз. разложением вра по ортобазису

Эти вры называются ортонормированным базисом. Для каждого вра а разложение по ортобазису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении вра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами вра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

a={x,y,z} это означает, что вр однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов

Вры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами вры а. Два вра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

Радиусвектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала коорд т. О в т. М

Линейные операции над врами в координатах.

Имеем 2 вра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k

сумма будет:

a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}

при сложении вров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.

С×а={Cx1,Cy1,Cz1}

при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.

Вры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

18. Проекция вра на ось

Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.

Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой и со знаком – если не совп.

Проекцией вра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного опускан

Учебная работа № 2053. Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия