Учебная работа № 1995. Лабораторные работы по Основам теории систем

Учебная работа № 1995. Лабораторные работы по Основам теории систем

Лабораторная работа № 2

Телешовой Елизаветы, гр. 726,

Цель работы: Решение задач линейного программирования симплексметодом. Варианты разрешимости задач линейного программирования.

1 вариант.

1. Четыре студента: Иванов, Петров, Сидоров и Васильев пошли на концерт группы «Чайф», захватив пиво 2 сортов: «Русич» и «Премьер». Определить план распития напитков для получения максимального суммарного опьянения (в ). Исходные данные даны в таблице:

Студент	Норма выпитого		Запасы (в литрах)
	«Русич»	«Премьер»
Иванов	2	2	1.5
Петров	3,5	1	1,5
Сидоров	10	4	4,5
Васильев	–	1	0,7
Крепость напитка	16 %	10 %

2. Математическая модель.

2.1 Управляемые параметры

x₁[л] – количество выпитого пива «Русич».

x₂[л] – количество выпитого пива «Премьер».

– решение.

2.2 Ограничения

– количество пива «Русич», выпитого Ивановым.

– количество пива «Премьер», выпитого Ивановым.

– общее количество пива, выпитого Ивановым.

Общее количество пива, выпитого Ивановым, не превосходит имеющихся у него запасов пива, поэтому:

(л).

Аналогично строим другие ограничения:

(л).

(л).

(л).

3. Постановка задачи.

Найти ^*, где достигается максимальное значение функции цели:

4. Решение.

при:

Приведем задачу к каноническому виду:

Определим начальный опорный план: .

Это решение является опорным, т.к. вектора условий при положительных компонентах решения линейно независимы, также , где , но не все оценки положительны (, где )

Опорный план является оптимальным, если для задачи максимизации все его оценки неотрицательны. не является оптимальным, значит критерий можно улучшить, если увеличить одну их отрицательных свободных переменных. Будем увеличивать , т.к. ее увеличение вызовет большее увеличение функции цели.

Предположим, что , тогда:

Запишем новый опорный план: . Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

При увеличении , первой перестает выполнять условие неотрицательности переменная , т.к. она первая обращается в ноль. Значит выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Для анализа этого плана выразим функцию цели через новые переменные.

Из ограничения (2) имеем: .

Подставляя в функцию цели: получаем:

Оформим данный этап задачи в виде симплекстаблицы:

Начальная симплекстаблица:

		16	10	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	в
0	X3	2	2	1	0	0	0	1,5
0	X4	3,5	1	0	1	0	0	1,5
0	X5	10	4	0	0	1	0	4,5
0	X6	0	1	0	0	0	1	0,7
	F	16	10	0	0	0	0	0

;

Пересчитаем элементы исходной таблицы по правилу четырехугольника:

		16	10	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3	0	1,428	1	0,572	0	0	0,642
16	X1	1	0,286	0	0,286	0	0	0,428
0	X5	0	1,14	0	2,86	1	0	0,214
0	X6	0	1	0	0	0	1	0,7
	F	0	5,424	0	4,576	0	0	6,857

;

Пересчитав все оценки, видим, что , значит критерий можно улучшить. Будем увеличивать . Пусть , тогда:

откуда получаем:

;

Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

Выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Выразим функцию цели через новые переменные:

, а из ограничений (2) и (3): . Тогда: ;

		16	10	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3	0	0	1	3	1,25	0	0,375
16	X1	1	0	0	1	0,25	0	0,375
10	X2	0	1	0	2,5	0,875	0	0,1875
0	X6	0	0	0	2,5	0,875	1	0,5125
	F	0	0	0	9	4,75	0	7,875

Пересчитав все оценки, видим, что , значит критерий можно улучшить. Будем увеличивать . Пусть , тогда:

откуда получаем:

;

Все оценки опорного плана должны быть неотрицательны, а значит должны выполняться условия:

=>

Выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Выразим функцию цели через новые переменные:

, а из ограничений (1) и (2): . Тогда: ;

		16	10	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	в
0	X4	0	0	0,333	1	0,416	0	0,125
16	X1	1	0	0,333	0	0,166	0	0,25
10	X2	0	1	1,833	0	0,166	0	0,5
0	X6	0	0	0,833	0	0,166	1	0,2
	F	0	0	3	0	1	0	9

Видим, что все оценки положительны, значит любое увеличение какойлибо свободной переменной уменьшит критерий. Данное решение является оптимальным. Изобразим это решение на графике:

Видим, что единственное и достигается в угловой точке области допустимых решений.

2 вариант.

Отмечая успешно сданную сессию, вышеупомянутые студенты взяли столько же пива и в таких же пропорциях, за исключением того, что вместо пива «Премьер» было куплено пиво «Окское», крепость которого 6,4 % (дешевое и разбавленное). Определить план распития напитков для получения максимального суммарного опьянения (в ).

Функция цели: .

Приводим ограничения к каноническому виду:

=>

Решаем симплексметодом:

		16	6,4	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3	2	2	1	0	0	0	1,5
0	X4	3,5	1	0	1	0	0	1,5
0	X5	10	4	0	0	1	0	4,5
0	X6	0	1	0	0	0	1	0,7
	F	16	10	0	0	0	0	0

,

		16	6,4	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3	0	1,428	1	0,571	0	0	0,642
16	X1	1	1,286	0	0,286	0	0	0,428
0	X5	0	1,142	0	2,85	1	0	0,214
0	X6	0	1	0	0	0	1	0,7
	F	0	1,82	0	4,571	0	0	6,857

;

		16	6,4	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	В
0	X3	0	0	1	3	1,25	0	0,375
16	X1	1	0	0	1	0,25	0	0,375
6,4	X2	0	1	0	2,5	0,875	0	0,1875
0	X6	0	0	0	2,5	0,875	1	0,5125
	F	0	0	0	0

Учебная работа № 1995. Лабораторные работы по Основам теории систем