Учебная работа № 1936. Кривые третьего и четвертого порядка
Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова
Кафедра высшей математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему:
«Кривые третьего и четвертого порядка»
Выполнили: студенты
группы С1200
Пинаев И.Н.
Искаков Р.Р.
Проверила:
доцент кафедры высшей математики
к.ф.м.наук Самарина С.М.
Чебоксары, 2002
Декартов лист
1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид
(1)
Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y = tx , присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь:
(2) |
откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.
Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид
(3)
Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке
Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты
и (cм. рис. 1)
Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим
и b = а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту
у = — х — а; следовательно, во 2м и 4м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.
Рис. 1
2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической кривой 3го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t 1 , t 2 и t 3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b , то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе
Система эта приводит к уравнению
корни которого и будут искомыми значениями t 1 , t 2 и t 3 параметра, откуда следует, что
(4)